0x01 基本概念
核心概念
图：一组由边连接的节点（或顶点）| 一些离散的节点和若干连接它们的边的集合，是网络结构的抽象模型。
**边：**连接两个节点的线段。
**权重：**边的权值
**路径：**若干个节点的连续序列，用 A-B-F 表示从节点 A 到节点 F 的路径。不包含重复的节点的路径称为「简单路径」，我们这一期所说的路径全都是简单路径
**节点的距离：**路径权重的和
节点和边，是图的最基本单元
其他概念
环：一条只有第一个和最后一个节点重复的非空路径。有环的图称为「有环图」，没有环的称为「无环图」
平行边：连接相同节点的边
相邻节点：同一条边连接的两个节点
节点的度：某个节点的相邻节点个数
连通图：任意两个节点都存在路径的图
有向图 & 无向图
根据边是否有方向分为有向图和无向图
一个图里，要么所有边都有方向，要么所有边的没有方向
0x02 存储结构
图可以有多种存储结构，不存在绝对正确的方式，实际使用哪种方式，只取决待解决的问题和图的类型
1、邻接矩阵
矩阵的行和列都表示节点，矩阵的值表示边的权重。未连接的边权重是 0。对于无向图来说是对称矩阵。对很多图而言，大量的数值都是 0，因此非常浪费存储空间
2、关联矩阵
矩阵的行表示节点，列表示边。适用于边比节点数量多的情况，大幅度地节约空间和内存。
3、邻接表
邻接表由图中每个节点的相邻节点列表组成。好处是不浪费存储空间。
对比矩阵的存储方式，邻接表可以用多种数据结构来存储，如数组、链表等，矩阵一般只能用二维数组来存储。而矩阵存储的优势在于针对特定种类的图可以做针对性的优化，无论是存储空间还是查找效率方面。
0x03 遍历 / 搜索
遍历和搜索的区别仅在于有无指定终点，算法核心没区别
1、广度优先搜索
优先遍历相邻节点的搜索算法
核心步骤只有两步：
-
访问节点，将该节点标记为已访问，从待访问节点中清除；
-
标记节点的相邻节点为待访问节点，如果已访问过或已经是待访问节点，则不标记；
具体从 A 开始的遍历过程如下：
-
选择 A 为起始节点；
-
访问 A，其相邻节点为 B、C。则新增待访问节点 B、C；【B、C】
-
访问 B，其相邻节点为 A、D、E。则新增待访问节点 D、E；【C、D、E】；
-
访问 C，其相邻节点为 A、D、E。则无新增待访问节点；【D、E】；
-
访问 D，其相邻节点为 B、C、F。则新增待访问节点 F；【E、F】；
-
访问 E，其相邻节点为 B、C、F。则无新增待访问节点；【F】；
-
访问 F，其相邻节点为 D、E。则无新增待访问节点；【 】；
-
待访问节点为空，遍历结束；
2、深度优先搜索
优先遍历相邻节点的相邻节点的搜索算法
核心步骤也是两步：（和广度优先完全相同）
-
访问节点，将该节点标记为已访问，从待访问节点中清除；
-
标记节点的相邻节点为待访问节点，如果已访问过或已经是待访问节点，则不标记；
区别于广度优先搜索在于待访问节点的存储方式不同：
1. 广度优先：队列 - 先进先出
2. 深度优先：栈 - 先进后出
具体从 A 开始的遍历过程如下：
-
选择 A 为起始节点；
-
访问 A，其相邻节点为 B、C。则新增待访问节点 B、C；【C、B】
-
访问 C，其相邻节点为 A、D、E。则新增待访问节点 D、E；【E、D、B】；
-
访问 E，其相邻节点为 B、C、F。则新增待访问节点 F；【F、D、B】；
-
访问 F，其相邻节点为 D、E。则无新增待访问节点 ；【D、B】；
-
访问 D，其相邻节点为 B、C、F。则无新增待访问节点；【B】；
-
访问 B，其相邻节点为 A、D、F。则无新增待访问节点；【 】；
-
待访问节点为空，遍历结束；
访问顺序为：A、C、E、F、D、B
0x04 两个经典算法应用
1、两个节点的最短/长路径（最小/大距离）
两个节点之间的所有路径中，权重合最小的路径为最短路径
求最短路径的经典算法有很多，这里只介绍比较好理解的一种：
贝尔曼-福特（Bellman-ford） 算法（边为基本单元）
算法核心
-
将起点权重设为 0，其他节点设为无穷大。节点的权重表示：从起点到该节点的最短路径的暂定距离。
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遍历所有的边，更新边两侧节点的权重
-
权重计算规则：取边的两个方向分别计算两个节点的权重，终点权重 = Math.min(终点权重原值, 起点权重 + 边的权重)
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无向图中，实际上只需要重新计算两个节点中权重较大的节点即可
-
重复步骤 2，直到没有任何节点的权重再变化
算法 demo
A 为起点，F 为终点，寻找 A 到 F 的最短路径
一共有 8 条边，A-B、A-C、B-D、B-E、C-D、C-E、D-F、E-F
第一次遍历
-
A-B：B 的权重 = 0 + 9 = 9，原本权重 ∞，最终权重为 9
2. A-C：C 的权重 = 0 + 1 = 1，原本权重 ∞，最终权重为 1
3. B-D：D 的权重 = 9 + 2 = 11，原本权重 ∞，最终权重为 11
4. B-E：E 的权重 = 9 + 5 = 14，原本权重 ∞，最终权重为 14
5. C-D：D 的权重 = 1 + 3 = 4，原本权重 11，最终权重为 4
6. C-E：E 的权重 = 1 + 7 = 8，原本权重 14，最终权重为 8
7. D-F：C 的权重 = 4 + 3 = 7，原本权重 ∞，最终权重为 7
8. E-F：E 的权重 = 7 + 5 = 12，原本权重 8，最终权重为 8
第一次遍历之后，消除了所有的 ∞
第二次遍历，最后结果如下：
对比第一次遍历，只有节点 B 的权重从 9 变成了 6。说明从 A 到 B 的最短路径并不是 A-B，至少目前 A-C-D-B 就更短一些。
第三次遍历，最后结果如下：
对比第二次遍历，没有节点权重变化，算法结束。
最终结论，A 到 F 的最短路径为：A-C-D-F，权重为 7。下图「得到色 #ff6b00」所示
其他算法
狄克斯特拉（Dijkstra）算法、A* （A-star）算法、SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法、弗洛伊德（Floyd）算法等（详细见推荐书籍）
2、最小生成树
构造连通网的最小代价生成树。把连通图中的多个或全部节点连接起来且路径之和最小。简单来说，就是用 n-1 条边连接 n 个节点，并且使路径最短
普利姆（Prim）算法（节点为基本单元）
算法核心
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以起始节点开始，将其加入到最小生成树
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遍历所有非最小生成树节点，找到距离生成树任意节点最近的邻接点，将该邻接点加入到最小生成树中。
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此时最小生成树已添加新成员，则还需对剩余节点的最小价值进行更新
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重复步骤2和3，直至最小生成树构造完成（即最小生成树节点数达成）
算法 demo
- 取节点 A 加入到最小生成树中
2. 遍历剩余节点，找到 C 距离 A 最近，加入到最小生成树中
3. 遍历剩余节点，找到 D 距离 C 最近，加入到最小生成树中
4. 遍历剩余节点，找到 B 距离 D 最近，加入到最小生成树中
5. 遍历剩余节点，找到 F 距离 D 最近，加入到最小生成树中
6. 遍历剩余节点，找到 E 距离 B 或者 F 最近，加入到最小生成树中
7. 无剩余节点，由于在 步骤 6 中存在 2 个相等距离的最近路径，因此该图有两颗最小生成树
其他算法
克鲁斯卡尔（kruskal）算法 - 以边为单位来生成最小子树。（详细见推荐书籍）
0x05 图的实际应用例子
1、基于图存的数据库 Neo4j
Neo4j Graph Platform – The Leader in Graph Databases
neo4j.com
2、六度分割理论
世界上任何互不相识的两人，只需要很少的中间人就能够建立起联系。哈佛大学心理学教授斯坦利·米尔格拉姆于1967年根据这个概念做过一次连锁实验，尝试证明平均只需要6步就可以联系任何两个互不相识的人
3、地图导航 - 路径规划、最短路径、地铁路径规划、出行航班选择等等
图更擅长研究节点的距离和关系
