递推算法

数学归纳法

1. 验证k0成立
2. 证明如果ki成立，那么k(i+1)也成立
3. 联合1和2，证明由 k0 -> kn 成立

求解方法

1. 确定递推状态 💖

一个函数符号 f(x), 及这个函数的含义描述

一般函数所对应的值，就是要求解的值

2. 确定递推公式

ki -> k(i+1)

3. 分析边界条件

k0

4. 程序实现

递归或者循环

例题

wallsize块墙，涂红、黄、蓝三种颜色，相邻两块墙不重色，另墙为环形，首尾不重色，求方案个数count

求解过程1

1. $f[n][j] = y$

在不考虑首尾成环的情况下，第一块涂颜色0：

n 为wallsize，代表墙数；j 代表最后一块墙颜色

2. $f[n][j] = \sum_{k=0}^{2} f[n-1][k]\quad (k \not= j)$

$f[1] = \begin{Bmatrix}1 & 0 & 0\\\\0 & 1 & 0\\\\0 & 0 & 1\end{Bmatrix}$

$f[2] = \begin{Bmatrix}0 & 1 & 1\\\\1 & 0 & 1\\\\1 & 1 & 0\end{Bmatrix}$

4. $ans = 3*(f[n][1] + f[n][2])$

求解过程2

1. $f[n] = y$

n为wallsize，代表墙数

2. $f[n] = f[n-1]+2*f[n-2]$

考虑第1块和第n-1块墙颜色:

当两块颜色不一样时，第 n 块只有 1 种颜色方案，即第 n-1 块的颜色方案数，$f[n-1]$

当两块颜色一样时，第 n 块有 2 种颜色方案, 即第 n-2 块的颜色方案数乘 2，$2*f[n-2]$

动态规划

多了决策过程，递归算法中的最优解

状态转移公式重点

• 状态：一个数学符号、外加一个语义描述
• 决策：从所有可能产生最优解的状态中，选择最大值
• 阶段：本阶段只依赖于上一个阶段

列题：三角形最小路径和 （leetcode 120）

求解过程1

来向：从三角底部到顶部，根据下一层的值（还未求出）更新当前层的值

var minimumTotal = function(triangle) {
    let n = triangle.length, dp = new Array(2)
    for (let i=0;i<2;i++) {
        dp[i] = new Array(n).fill(0)
    }
    for (let i=0;i<n;i++) {
        let ind = (n-1) % 2 
        dp[ind][i] = triangle[n-1][i]
    }
    for (i = n-2;i>=0;i--) {
        let ind = i % 2
        let nextInd = 1 - ind
        for (j = 0;j<=i;j++) {
            dp[ind][j] = Math.min(dp[nextInd][j], dp[nextInd][j+1]) + triangle[i][j]
        }
    }
    return dp[0][0]
};

求解过程2

去向：从三角顶部到底部，根据当前的值去更新下一层中受影响的值

var minimumTotal = function(triangle) {
    let n = triangle.length, dp = new Array(n), ans = Number.MAX_SAFE_INTEGER
    for (let i=0;i<n;i++) {
        dp[i] = new Array(i+1).fill(Number.MAX_SAFE_INTEGER)
    }
    dp[0][0] = triangle[0][0]
    for (let i=0;i<n-1;i++) {
        for (let j=0;j<=i;j++) {
            dp[i+1][j] = Math.min(dp[i][j] + triangle[i+1][j], dp[i+1][j])
            dp[i+1][j+1] = Math.min(dp[i][j] + triangle[i+1][j+1], dp[i+1][j+1])
        }
    }
    for (let i=0;i<dp[n-1].length;i++) ans = Math.min(ans, dp[n-1][i])
    return ans
};