leetcode 5. 最长回文子串: Manacher 算法

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。

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1. 中心扩散法

以奇数长度回文串为例:
遍历字符串 $s$, 对于每一个字符 $s[i]$, 定义 $l = r = i$
其中 $l$ 表示回文串的最左端的下标, $r$ 表示回文串最右端的下标
每当 $s[l] = s[r]$ 时, $l = l - 1, r = r + 1$. 同时 $r - l + 1$ 表示回文子串的长度

var longestPalindrome = function(s) {
  const n = s.length
  let st = 0, len = 0
  for (let i = 0, l, r; i < n; i ++) {
    // odd
    l = r = i
    while (l >= 0 && r < n && s[l] === s[r]) {
      l --, r ++
    }
    l ++, r --
    if (len < r - l + 1) {
      st = l, len = r - l + 1
    }
    
    // even
    l = i, r = i + 1
    while (l >= 0 && r < n && s[l] === s[r]) {
      l --, r ++
    }
    l ++, r --
    if (len < r - l + 1) {
      st = l, len = r - l + 1
    }
  }
  return s.slice(st, st + len)
};

2. Manacher

2.1 朴素 Manacher

$d1[i]$ 指的是以 $i$ 为中心的回文字符串(奇数)的一半(向上取整), 如 $abcdcba$ 的 $d1[4] = 4$
$d2[i]$ 指的是以 $i$ 为中心偏右的回文字符串(偶数)的一半, 如 $abcddcba$ 的 $d2[4] = 4$

var longestPalindrome = function(s) {
  const n = s.length
  const d1 = new Array(n).fill(0)
  cosnt d2 = new Array(n).fill(0)
  
  let st = 0, len = 0
  for (let i = 0; i < n; i ++) {
    d1[i] = 1
    while (i - d1[i] >= 0 && i + d1[i] < n && s[i - d1[i]] === s[i + d1[i]]) {
      d1[i] ++
    }
    
    d2[i] = 0
    while (i - d2[i] - 1 >= 0 && i + d2[i] < n && s[i - d2[i] - 1] === s[i + d2[i]]) {
      d2[i] ++
    }
  }
};

2.2 优化的 Manacher

遍历字符串 $s$, $s[i]$ 表示遍历到的当前项, $s[l, r]$ 表示当前已知的所有回文串中最靠右的回文串.

• 如果 $i$ 不在 $r$ 的右侧, 则表明 $i$ 在 $[l, r]$ 之间. 对于 $s[i]$ 来说, 存在一个 $s[j]$ 与其在 $[l, r]$ 中对称, 如下图所示: 此时对于 $s[i]$ 来说, 其 $d1[i]$ 有两种可能:
  1. 如果以 $s[j]$ 为中心的回文子字符串的范围在 $[l, r]$ 中, 那么 $d1[i] = d1[j]$
  2. 如果以 $s[j]$ 为中心的回文子字符串的范围超出了 $[l, r]$, 则为 $d1[i]$ 赋初始值: $d1[i] = r - i + 1$, 后再以朴素版 Manacher 对 $d1[i]$ 进行求值
• 如果 $i$ 在 $r$ 的右侧, 则只能直接使用 Manacher 算法对 $d1[i]$ 进行求值

var longestPalindrome = function(s) {
  const n = s.length
  const d1 = new Array(n + 1).fill(0)
  const d2 = new Array(n + 1).fill(0)

  let st = 0, len = 0
  for (let i = 0, l = 0, r = -1, k; i < n; i ++) {
    // odd
    k = (i > r) ? 1 : Math.min(d1[l + r - i], r - i + 1)
    while (i - k >= 0 && i + k < n && s[i - k] === s[i + k]) {
      k ++
    }
    d1[i] = k --
    if (r < i + k) {
      l = i - k
      r = i + k
    }
    
    // even
    k = (i > r) ? 0 : Math.min(d2[l + r - i + 1], r - i + 1)
    while (i - k - 1 >= 0 && i + k < n && s[i - k - 1] === s[i + k]) {
      k ++
    }
    d2[i] = k --
    if (r < i + k) {
      r = i + k
      l = i - k - 1
    }

    if (len < d2[i] * 2) {
      st = i - d2[i], len = d2[i] * 2
    }
    if (len < d1[i] * 2 - 1) {
      st = i - d1[i] + 1, len = d1[i] * 2 - 1
    }
  }
  
  return s.slice(st, st + len)
};