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题目描述

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转，该数组的最小值为1。

示例 1：

输入：[3,4,5,1,2]
输出：1

示例 2：

输入：[2,2,2,0,1]
输出：0

题解

方法一：二分查找

思路与算法

一个包含重复元素的升序数组在经过旋转之后，可以得到下面可视化的折线图。

其中横轴表示数组元素的下标，纵轴表示数组元素的值。图中标出了最小值的位置，是我们需要旋转的目标。

我们考虑 数组中的最后一个元素 x，在最小值右侧的元素，他们的值一定都小于等于 x，而在最小值左侧的元素，它们的值一定都大于等于 x。因此我们可以根据这一条性质，通过二分查找的方法找出最小值。

在二分查找的每一步中，左边界为 low，右边界为 high，区间的中点为 pivot，最小值就在该区间内。我们将中轴元素 numbers[pivot] 与右边界元素 numbers[high] 进行比较，可能会有以下的三种情况：

第一种情况是 numbers[pivot] < numbers[high]。如下图所示，这说明 numbers[pivot] 是最小值右侧的元素，因此我们可以忽略二分查找区间的右半部分。

第二种情况是 numbers[pivot] > numbers[high]。如下图所示，这说明 numbers[pivot] 是最小值左侧的元素，因此我们可以忽略二分查找区间的左半部分。

第三种情况是 numbers[pivot] = numbers[high]。如下图所示，由于重复元素的存在，我们并不能确定 numbers[pivot] 究竟在最小值的左侧还是右侧，因此我们不能莽撞的忽略一部分元素。我们唯一可以知道的是，由于它们的值相同，所以无论 numbers[high] 是不是最小值，都有一个它的「替代品」 numbers[pivot]，因此我们可以忽略二分查找区间的右端点。

当二分查找结束时，我们就得到了最小值所在的位置。

代码

class Solution {
    public int minArray(int[] numbers) {
        int low = 0;
        int high = numbers.length - 1;
        while (low < high) {
            int pivot = low + (high - low) / 2;
            if (numbers[pivot] < numbers[high]) {
                high = pivot;
            } else if (numbers[pivot] > numbers[high]) {
                low = pivot + 1;
            } else {
                high -= 1;
            }
        }
        return numbers[low];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：平均时间复杂度为 O(logN)，其中 N 是数组 numbers 的长度。如果数据是随机生成的，那么数组中包含相同元素的概率很低，在二分查找的过程中，大部分情况都会忽略一半的区间。而在最坏的情况下，如果数组中的元素完全相同，那么 while 循环就需要执行 n 次，每次忽略区间的右端点，时间复杂度为 O(N)。
空间复杂度：O(1)。

个人理解

特性：最小值左侧的数据都大于或等于最右边的值，最小值右侧的数据都小于或等于最右边的值。
舍去部分区间：根据上述特性，当中间值小于最右侧的值，说明最小值在中间值的左侧，可以舍掉右半部分。当中间值大于最右侧的值，说明最小值在中间值的右侧，说明可以舍掉中间值左侧的部分。
相等情况处理：当中间值等于最右侧的时候，说明有相等值存在的情况，如上面分析的一样，无法得出最小值位于中点的哪一边，因此只能舍弃最右边的点。
pivot 的值： low + (high - low) /2 和 (low + high) / 2 得到的结果都一样。但是存在溢出的可能性，因此求中点一般使用 low + (high - low) /2。
为什么忽略左边要执行 low = pivot + 1，而忽略右边要执行 high = pivot ：我们先举个特例来看一下，假如说中点小于等于最右边的值，说明中点右边的值都小于等于最右边的值，那么应该忽略右边的元素，假设该值是最小值，如果执行 high = pivot - 1 的话，就会把这个最小值丢失。或者另一种想法，中值左边的都是「反常数组」，如果要跳出「反常数组」，所以就要 + 1，中值右边的是正常数组，为了避免跳进「反常数组」，就不能执行 - 1 了。

题解来源

作者：LeetCode-Solution
链接：leetcode-cn.com/problems/xu… 来源：力扣（LeetCode）

题目来源

来源：力扣（LeetCode）
链接：leetcode-cn.com/problems/xu…

leetcode每日一题系列——旋转数组的最小数字