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题目描述

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉树: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4]

示例 1:

输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1
输出: 3
解释: 节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3。

示例 2:

输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4
输出: 5
解释: 节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

说明:

所有节点的值都是唯一的。
p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉树中。

题解

方法一：后续遍历 DFS

解题思路

祖先的定义：若节点 p 在节点 root 的左（右）子树中，或 p = root，则称 root 是 p 的祖先。

最近公共祖先的定义：设节点 root 为节点 p，q 的某公共祖先，若其左子节点 root.left 和右子节点 root.right 都不是 p，q 的公共祖先，则称 root 是“最近的公共祖先”。

根据以上定义，若 root 是 p，q 的 最近公共祖先，则只可能为以下情况之一：

p 和 q 在 root 的子树中，且分列 root 的异侧（即分别在左、右子树中）；
p = root，且 q 在 root 的左或右子树中；
q = root，且 p 在 root 的左或右子树中；

考虑通过递归对二叉树进行后续遍历，当遇到节点 p 或 q 时返回。从底至顶回溯，当节点 p，q 在节点 root 的异侧时，节点 root 即为最近公共祖先，则向上返回 root。

递归解析：

终止条件：
1. 当越过叶节点，则直接返回 null；
2. 当 root 等于 p，q 时，则直接返回 root。
递推工作：
1. 开启递归左子节点，返回值记为 left；
2. 开启递归右子节点，返回值记为 right；
返回值：根据 left 和 right，可展开为四种情况：
1. 当 left 和 right 同时为空 ：说明 root 的左/右子树中都不包含 p，q，返回 null。
2. 当 left 和 right 同时不为空：说明 p，q 分列 root 的异侧（分别为左/右子树），因此 root 为最近公共祖先，返回 root。
3. 当 left 为空，right 不为空：p，q 都不在 root 的左子树中，直接返回 right。具体可分为两种情况：
  1. p，q 其中一个在 root 的 右子树 中，此时 right 指向 p（假设为 p）；
  2. p，q 两节点都在 root 的 右子树 中，此时的 right 指向 最近公共祖先节点。
4. 当 left 不为空，right 为空：与情况 3 同理。

观察发现，情况 1. 可合并至 3. 和 4. 内，详见下面代码

代码

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if(root == null || root == p || root == q) return root;
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        if(left == null) return right;
        if(right == null) return left;
        return root;
    }
}

情况 1. , 2. , 3. , 4. 的展开写法如下。

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if(root == null || root == p || root == q) return root;
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        if(left == null && right == null) return null; // 1.
        if(left == null) return right; // 3.
        if(right == null) return left; // 4.
        return root; // 2. if(left != null and right != null)
    }
}

复杂度分析

时间复杂度 O(N) ：其中 N 为二叉树节点数；最差情况下，需要递归便利树的所有节点。
空间复杂度 O(N) ：最差情况下，递归深度达到 N，系统使用 O(N) 大小的额外空间。

个人理解

最近公共祖先理解。首先我们应该对最近公共祖先有一个深刻的理解。按照的题解的描述，有三种情况：
1. 其中一个是另一个的子节点，比如 p 是 q 的子节点，那么最近公共祖先一定是 q 了，因为最近公共祖先可以是本身，如果有父子关系，那么父节点一定是最近公共祖先。
2. root 节点的左右子树中分别有 p，q。这一点我们举个反例，假设 root 的左右子树分别为 p，q，parent 是 root 的父节点，那么 parent 是 p，q 的最近公共节点吗。显然不是了，因为 root 也是 p，q 的祖先，且离 p，q 更近。
3. 所以说最近公共祖先只有上述三种情况。
如何寻找最近公共祖先。按照上述对最近公共祖先的情况的分析，我们可以手动模拟一下。首先根节点为 root，我们需要先遍历左子树，看看有没有 p，q。
后续遍历：后续遍历就是 左右中 的顺序。
理解递归：
1. 首先我们肯定是从 root 节点开始查找，根据上述规则，我们肯定要查看 root->left 和 root->right，判断是否有 p 和 q。
2. 从 1 中可以看出，需要不断判断 root->left 和 root->right，因为判断规则都一致，所以使用递归操作。
3. 终止条件：当 root = null 或 root = p 或 root = q 肯定就要返回 root 值了。
4. 如果 root 节点不符合上述条件，那么 root->left 或 root->right 肯定至少一个有值，不为 null，然后就进行下面的比较条件。

题解来源

作者：jyd
链接：leetcode-cn.com/problems/er… 来源：力扣（LeetCode）

题目来源

来源：力扣（LeetCode）
链接：leetcode-cn.com/problems/er…

leetcode每日一题系列——二叉树的最近公共祖先