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图的应用

二、最短路径

对带权图，从一个顶点𝑣0到图中其余任一顶点𝑣𝑖的一条路径(可能不止一条)上所经过边上的权值之和定义为该路径带权路径长度，把带权路径长度最短的那条路径称为最短路径

求解最短路径的算法通常依赖于一个性质：两点之间的最短路径也包含了路径上其他顶点之间的最短路径

1.𝑫𝒊𝒋𝒌𝒔𝒕𝒓𝒂算法求单源最短路径问题

该算法设置一个集合S记录以求得的最短路径的结点，此外还有两个辅助数组 dist[]:记录从源点𝑣0到其他各顶点当前的最短路径长度，初始时有 dist[i]=arcs[𝑣0][i]，arcs[𝑣0][i]是邻接矩阵初始值 path[]:path[i]表示从源点到顶点i之间的最短路径的前驱结点，算法结束后可根据其值追溯到源点𝑣0到顶点𝑣𝑖的最短路径邻接矩阵arcs[][]表带权有向图，arcs[i][j]表示有向边<i,j>的权值，若不存在边<i,j>则arcs[i][j]=∞，Dijkstra算法步骤如下：求解最短路径的算法通常依赖于一个性质：两点之间的最短路径也包含了路径上其他顶点之间的最短路径

Dijkstra算法步骤如下：

①初始化：集合S初始化{0}，dist[]初始值dist[i]=arcs[0][i],i=1,2,3,...,n-1

②从顶点集合V-S中选出v𝑗，满足dist[j]=Min{dist[i]|v𝑖 ∈ 𝑉 −𝑆}, v𝑗就是当前求得的一条从v0出发的最短路径的终点，令S=S∪{j}

③修改从v0出发到集合V-S上任一顶点v𝑘可达的最短路径长度：如果 dist[j]+arcs[j][k]<dist[k],则更新dist[k]= dist[j]+arcs[j][k]

④重复②③操作共n-1次，直到所有顶点都包含在S中

注意：

• 若只求从源点到某一个特定顶点的最短路径仍然需要运行整个 Dijkstra算法，时间复杂度为O(|𝑉|2) • 如果要找出所有结点对之间的最短路径，时间复杂度为O(|𝑉|3) • Dijkstra算法不适合求解带负权值的图

2.Floyd算法求各顶点之间最短路径问题

注意：

Floyd算法时间复杂度为O(|𝑉|3)，虽和Dijkstra算法相比没有数量级级别的效率提升，但其代码紧凑，思想简单，故应用广泛
Floyd算法允许图中有带负权值的边，但不允许其包含带负权值的边组成的回路
Floyd算法也适用于带权无向图，带权无向图可看成有往返二重边的有向图

三、拓扑排序

有向无环图：一个有向图中不存在环，则称为有向无环图，简称DAG图

AOV网：如果用DAG图表示一个工程，其顶点表示活动，用有向边<𝑉𝑖,𝑉𝑗>表示活动 𝑉𝑖必须先于活动𝑉𝑗进行，则将这种有向图称为顶点表示活动的网络，记为AOV网

拓扑排序：对有向无环图的顶点的一种排序，排序规则为：

① 每个顶点出现且只出现一次

②若顶点A在序列中排在顶点B的前面，则在图中不存在从顶点B到顶点 A的路径拓扑排序算法步骤： ①从DAG图中选择一个没有前驱（入度为0）的顶点并输出

② 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边

③ 重复①②直到DAG图为空或者当前图中不存在无前驱的顶点为止，后一种情况实际说明有向图中有环

注意：任何DAG图都有一个或多个拓扑排序序列，拓扑排序不唯一

拓扑排序算法实现

bool  TopologicalSort(Graph  G){
InitStack(S);                                           //初始化栈，存储入度为0的顶点
for(int  i=0;i<G.vexnum;i++)
if(indegree[i]==0)
Push(S,i);                                  //将所有入度为0的顶点进栈
int  count=0;                                          //记录已经输出的顶点数 while(!IsEmpty(S)){
Pop(S,i);
print[count++]=i;                          //待输出顶点i加入输出数组暂存 for(p=G.vertices[i].firstarc;p!=NULL;p=p->nextarc){
v=p->adjvex;                         //将所有i指向的顶点入度减1，并将入度 if(!(--indegree[v]))     //减为0的顶点压入栈S
Push(S,v);
}
}
if(count<G.vexnum)
return  false;                            //排序失败，有向图中有回路
else return true; //拓扑排序成功
}

注意：

拓扑排序需要输出每个顶点的同时删除以它为起点的边，故拓扑排序时间复杂度为O(|V|+|E|)
拓扑排序的结果通常不唯一，但如果各个顶点已经排在一个线性有序的序列中（比如邻接表）时，拓扑排序唯一
由于DAG图中各个顶点地位平等，且顶点编号是人为取的，故若按照拓扑排序的结果重新安排顶点的序号，生成的DAG图的新的邻接矩阵一定是三角矩阵
反之一个有向图如果它的邻接矩阵是三角矩阵，则必定存在拓扑序列

考研数据结构 第6章图|图的应用二、最短路径三、拓扑排序