排序——初认识

Yummyq
305 阅读7分钟

这是我参与8月更文挑战的第十五天，活动详情查看：8月更文挑战

排序算法

介绍

排序也称排序算法(SortAlgorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。

排序的分类

1）内部排序:

指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器(内存中进行排序。

2）外部排序法:

数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储(文件等进行排序。

3）常见的排序算法分类(见下图): image.png

算法的时间复杂度

1.度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

1）事后统计的方法

这种方法可行，但是有两个问题:一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序;二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素,这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快

2）事后估算的方法

通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优。

2.时间频度

基本介绍

时间频度:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。 记为T(n)。[举例说明]

  • 举例说明-基本案例

比如计算1-100所有数字之和,我们设计两种算法:

    int total = 0;
    int end = 100;
    //使用for循环计算
    for(int i = 1; i <= end; i++){
        total += i;
    }
    T(n) = n + 1;
    
    //直接计算
    total = (1+end) * end /2;
    T(n) = 1;
  • 举例说明-忽略常数项

image.png

结论:

  1. 2n+20和2n随着n变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略

  2. 3n+10和3n随着n变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略

  • 举例说明-忽略低次项

image.png 结论:

  1. 2n²+3n+10和 2n²随着n变大,执行曲线无限接近,可以忽略3n+10

  2. n²+5n+20和n²随着n变大,执行曲线无限接近,可以忽略5n+20

  • 举例说明-忽略系数

image.png

结论:

  1. 随着n值变大，5n2+7n 和 3n2+2n ，执行曲线重合，说明这种情况下,5和3可以忽略。

  2. 而n^3+5n和 6n^3+4n，执行曲线分离，说明多少次方式关键

时间复杂度

1）一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O( f(n)) ，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2）T(n)不同，但时间复杂度可能相同。如:T(n)=n²+7n+6 与T(n)=3n²+2n+2它们的T(n)不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

3）计算时间复杂度的方法：

  1. 用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 → T(n)=n²+7n+1
  2. 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项T(n)=n²+7n+1→T(n)= n²
  3. 去除最高阶项的系数T(n)=n² →T(n)= n² → O(n²)

常见的时间复杂度

1)常数阶o(1)

2)对数阶o(log2n)

3)线性阶o(n)

4)线性对数阶o(nlog2n)

5)平方阶o(n^2)

6)立方阶O(n^3)

7)k次方阶O(n^k)

8)指数阶o(2^n)

常见的时间复杂度对应的图

image.png

说明：

  1. 常见的算法时间复杂度由小到大依次为:0(1)<0(log2n)<0(n)<O(nlog2n)<O(n²)<0(n^3)<0(n^k)<o(2^n)，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低

  2. 从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

1）常数阶O（1）

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是o(1)

int i = 1;

int j = 2;

++i;

j++;

int m = i + j;

说明：上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用o1)来表示它的时间复杂度。

2）对数阶O(log2n)

int i = 1;

while(i<n){

	i = i * 2;

}

说明：在while循环里面，每次都将i乘以2，乘完之后，i距离n就越来越近了。假设循环x次之后，i就大于2了，此时这个循环就退出了，也就是说2的x次方等于n，那么x=log2n也就是说当循环log2n次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O(log2n)。O(log2n)的这个2时间上是根据代码变化的，i=i*3，则是O(log3n).

3)线性阶O(n)

for(i = 1; i <= n; ++i){

	j = i;

	j++;

}

说明:这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的,因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

4）线性对数阶O(nlogn)

for(m = 1; m < n; m++){
	i = 1;
	while(i<n){
		i = i * 2;
	}
}

说明:线性对数阶o(nlogN)其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

5）平方阶O(n^2)

for(x = 1; i <= n; x++){
	for(i = 1; i <= n; i++){
		j = i;
		j++;
	}
}

说明:平方阶o(n2)就更容易理解了，如果把o(n)的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是o(n2)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是o(n * n)， 即o(n2)如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了O(m * n)

6）立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)

说明：参考上面的O(n^2)去理解就好了，O(n^3)相当于三层n循环。其他的类似

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1)平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

2)最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。 —般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

3)平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如下图：)

image.png

算法的空间复杂度

基本介绍

  1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该 算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
  2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大 小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时,将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法、基数排序就属于这种情况
  3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的 程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.
avatar
文章
阅读
粉丝