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其实对于分治算法，如果有了解快速排序，归并排序的同学，其实就懂得差不多了
分治，也就是分而治之。
它的一般步骤是
① 将原问题分解成若干个规模较小的子问题（子问题和原问题的结构一样，只是规模不一样）
② 子问题又不断分解成规模更小的子问题，直到不能再分解（直到可以轻易计算出子问题的解）
③ 利用子问题的解推导出原问题的解
因此，分治策略非常适合用递归 需要注意的是：子问题之间是相互独立的
主定理
因为公式太复杂了，就直接上图了
最大连续子序列和
我们还是通过做题来讲解一下分治的运用
问题：
**输入：**nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
**输出：**6
**解释：**连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
这道题也属于最大切片问题（最大区段，Greatest Slice）
概念区分
子串、子数组、子区间必须是连续的，子序列是可以不连续的
暴力出奇迹
这中解题方法我们丝毫都不推荐，暴力的确能解决问题，但是花费的时间太长了，损耗也很高；穷举出所有可能的连续子序列，并计算出它们的和，最后取它们中的最大值
static int maxSubarray2(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
int max = Integer.MIN_VALUE;
for (int begin = 0; begin < nums.length; begin++) {
int sum = 0;
for (int end = begin; end < nums.length; end++) {
// sum是[begin, end]的和
sum += nums[end];
max = Math.max(max, sum);
}
}
return max;
}
空间复杂度O(1)
时间复杂度O(n2)
分治
将序列均匀地分割成 2 个子序列
[begin , end) = [begin , mid) + [mid , end)，mid = (begin + end) >> 1
假设 [begin , end) 的最大连续子序列和是 S[i , j) ，那么它有 3 种可能
[i , j) 存在于 [begin , mid) 中，同时 S[i , j) 也是 [begin , mid) 的最大连续子序列和
[i , j) 存在于 [mid , end) 中，同时 S[i , j) 也是 [mid , end) 的最大连续子序列和
[i , j) 一部分存在于 [begin , mid) 中，另一部分存在于 [mid , end) 中
[i , j) = [i , mid) + [mid , j)
S[i , mid) = max { S[k , mid) }，begin ≤ k ＜ mid
S[mid , j) = max { S[mid , k) }，mid ＜ k ≤ end
简笔画
示例：
public static void main(String[] args) {
int[] nums = {-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4 };
System.out.println(maxSubArray(nums));
}
static int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) {return 0;}
return maxSubArray(nums, 0, nums.length);
}
static int maxSubArray(int[] nums, int begin, int end) {
if (end - begin < 2)
{return nums[begin];}
int mid = (begin + end) >> 1;
int leftMax = nums[mid - 1];
int leftSum = leftMax;
for (int i = mid - 2; i >= begin; i--) {
leftSum += nums[i];
leftMax = Math.max(leftMax, leftSum);
}
int rightMax = nums[mid];
int rightSum = rightMax;
for (int i = mid + 1; i < end; i++) {
rightSum += nums[i];
rightMax = Math.max(rightMax, rightSum);
}
return Math.max(leftMax + rightMax,
Math.max(
maxSubArray(nums, begin, mid),
maxSubArray(nums, mid, end))
);
}
动态规划
分治并不是这道题的最优解，还有一种更好的解题方式
思考
分治和动态规划的时间复杂度相同，但是因为分治使用了递归，并且维护了四个信息的结构体，运行的时间略长，空间复杂度也不如方法一优秀，而且难以理解。那么这种方法存在的意义是什么呢？
对于这道题而言，确实是如此的。但是仔细观察分治，它不仅可以解决区间 0, n-1，还可以用于解决任意的子区间 l,r 的问题。如果我们把 0, n-1 分治下去出现的所有子区间的信息都用堆式存储的方式记忆化下来，即建成一颗真正的树之后，我们就可以在 O(\log n)O(logn) 的时间内求到任意区间内的答案，我们甚至可以修改序列中的值，做一些简单的维护，之后仍然可以在 O(\log n)O(logn) 的时间内求到任意区间内的答案，对于大规模查询的情况下，这种方法的优势便体现了出来。
