力扣刷题笔记《动态规划篇》→ 62. 不同路径

这是我参与8月更文挑战的第21天，活动详情查看：8月更文挑战

题目

一个机器人位于一个 $m$ * $n$ 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例

输入： m = 3, n = 7
输出： 28

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

输入： m = 7, n = 3
输出： 28

输入： m = 3, n = 3
输出： 6

提示

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * $10^9$

解题思路

根据机器人每次只能向下或者向右移动的限制，我们可以得到当前位置的来源可能为上边或者左边，那么我们就需要计算上边的路径数量以及左边的路径数量即可推导出最终结果。

公式： $dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]$

代码实现

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        // 边界处理，首行首列只有一个方向来源
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < n; ++i){
            dp[0][i] = 1;
        }

        for(int i = 1; i < m; ++i){
            for(int j = 1; j < n; ++j){
                // 累计上边跟左边的路径数量
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }

        // 返回结果
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(MN)$
• 空间复杂度：$O(MN)$

最后

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题目出处: leetcode-cn.com/problems/un…