这是我参与8月更文挑战的第6天，活动详情查看：8月更文挑战
含义：
回溯可以理解为通过选择不同的岔路口来通往目的地（找到想要的结果）； 每一步都选择一条路出发，能进则进，不能进则退回上一步（回溯），换一条路再试
树、图的深度优先搜索（DFS）、八皇后、走迷宫都是典型的回溯应用
不难看出来，回溯很适合使用递归
八皇后问题
要知道想要明白一种算法，最直接的方式就是做一道题去理解它，再多的理论都要架在做题的基础之上
八皇后问题是一个古老而著名的问题
在8x8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列、同一斜线上
请问有多少种摆法？
解题思路
一、暴力破解，正所谓大力出奇迹，暴力的确可以解决问题，但是必不可面的就是他浪费了大量的资源，我们所得到的和所花费的不成比例，也不是我们学习算法的初衷；从 64 个格子中选出任意 8 个格子摆放皇后，检查每一种摆法的可行性，一共 C648种摆法（大概是 4.4 ∗ 109 种摆法）；根据题意，很显然，每一行只能放一个皇后，所以共有 88 种摆法（16777216 种），检查每一种摆法的可行性
二、回溯法
回溯+剪枝
四皇后——回溯法
在解决八皇后问题之前，我们并不需要那么大的数据规模，我们可以先解决四皇后问题，在变换成八皇后，因为代码的思路是相同的
看图须知：我们四皇后问题在4×4的表格内，就说明在每行每列都应该存在且仅存在一个皇后。
如图所示，我们先选择（0，0）的位置作为第一个皇后，在剩下蓝色区域按序选择（1，2）位置作为第二个皇后的位置，但是我们发现第三行已经不能摆放皇后，说明我们之前摆放有问题，我们回到上一次摆放（图中3➡2），我们已经知道（1，2）不能摆放，我们按序拜访下一个位置（1，3）作为第二个皇后的位置，在剩下蓝色区域按序选择（2，1）位置作为第三个皇后的位置，此时我们发现第四行无摆放皇后位置，说明我们前几次摆放错误，我们向前回溯时发现，我们第二行和第三行的蓝色位置我们都进行了尝试，所以我们回溯到第一次摆放皇后（图中5➡1）；我们按序更改第一次摆放皇后的位置，~
按照规则我们进行摆放，当我们成功时，我们进行上一行的回溯，如果不行，继续上跳，当第一行将每个位置尝试过之后，我们就可以有多少种摆放方法。
四皇后 – 剪枝
剪枝，如图所示，就是将不符合条件的选项筛选掉。
八皇后——回溯
先是通过四皇后来整理了思路，现在我们开始上代码
*示例：*
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
new Queens().placeQueens(4);
}
/**
* 数组索引是行号，数组元素是列号
*/
int[] cols;
/**
* 一共有多少种摆法
*/
int ways;
void placeQueens(int n) {
if (n < 1) return;
cols = new int[n];
place(0);
System.out.println(n + "皇后一共有" + ways + "种摆法");
}
/**
* 从第row行开始摆放皇后
* @param row
*/
void place(int row) {
if (row == cols.length) {
ways++;
show();
return;
}
for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
if (isValid(row, col)) {
// 在第row行第col列摆放皇后
cols[row] = col;
place(row + 1);
}
}
}
/**
* 判断第row行第col列是否可以摆放皇后
*/
boolean isValid(int row, int col) {
for (int i = 0; i < row; i++) {
// 第col列已经有皇后
if (cols[i] == col) {
System.out.println("[" + row + "][" + col + "]=false");
return false;
}
// 第i行的皇后跟第row行第col列格子处在同一斜线上
if (row - i == Math.abs(col - cols[i])) {
System.out.println("[" + row + "][" + col + "]=false");
return false;
}
}
System.out.println("[" + row + "][" + col + "]=true");
return true;
}
void show() {
for (int row = 0; row < cols.length; row++) {
for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
if (cols[row] == col) {
System.out.print("1 ");
} else {
System.out.print("0 ");
}
}
System.out.println();
}
System.out.println("------------------------------");
}
八皇后——优化1
我们可以很好的找到皇后所对应的行列，但是对于他的对角线问题我们就不能快速的解决
看到这幅图的时候我相信大家都明白了，我们按照这种对角线的方式我们能很好的找到我们斜线
我们将整型数组变成了布尔类型
*示例：*
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
new Queens2().placeQueens(4);
}
/**
* 数组索引是行号，数组元素是列号
*/
int[] queens;
/**
* 标记着某一列是否有皇后
*/
boolean[] cols;
/**
* 标记着某一斜线上是否有皇后（左上角 -> 右下角）
*/
boolean[] leftTop;
/**
* 标记着某一斜线上是否有皇后（右上角 -> 左下角）
*/
boolean[] rightTop;
/**
* 一共有多少种摆法
*/
int ways;
void placeQueens(int n) {
if (n < 1) return;
queens = new int[n];
cols = new boolean[n];
leftTop = new boolean[(n << 1) - 1];
rightTop = new boolean[leftTop.length];
place(0);
System.out.println(n + "皇后一共有" + ways + "种摆法");
}
/**
* 从第row行开始摆放皇后
* @param row
*/
void place(int row) {
if (row == cols.length) {
ways++;
show();
return;
}
for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
if (cols[col]) continue;
int ltIndex = row - col + cols.length - 1;
if (leftTop[ltIndex]) continue;
int rtIndex = row +col;
if (rightTop[rtIndex]) continue;
queens[row] = col;
cols[col] = true;
leftTop[ltIndex] = true;
rightTop[rtIndex] = true;
place(row + 1);
//我们必须要将它回到原位
cols[col] = false;
leftTop[ltIndex] = false;
rightTop[rtIndex] = false;
}
}
void show() {
for (int row = 0; row < cols.length; row++) {
for (int col = 0; col < cols.length; col++) {
if (queens[row] == col) {
System.out.print("1 ");
} else {
System.out.print("0 ");
}
}
System.out.println();
}
System.out.println("------------------------------");
}
八皇后——优化2
这种优化只限于八皇后，或者更少的皇后，但是一种思路，我看到别人家的都有，我也要有。
*示例：*
public static void main(String[] args) {
// 01111101 n
//&11111011 ~00000100
// 01111001
//&00100000 v
// int n = 125;
// for (int i = 0; i < 8; i++) {
// int result = n & (1 << i);
// System.out.println(i + "_" + (result != 0));
// }
// int col = 7;
// int result = n & (1 << col);
// System.out.println(result != 0);
// System.out.println(Integer.toBinaryString(n));
// TODO Auto-generated method stub
new Queens3().place8Queens();
}
/**
* 数组索引是行号，数组元素是列号
*/
int[] queens;
/**
* 标记着某一列是否有皇后
*/
byte cols;
/**
* 标记着某一斜线上是否有皇后（左上角 -> 右下角）
*/
short leftTop;
/**
* 标记着某一斜线上是否有皇后（右上角 -> 左下角）
*/
short rightTop;
/**
* 一共有多少种摆法
*/
int ways;
void place8Queens() {
queens = new int[8];
place(0);
System.out.println("8皇后一共有" + ways + "种摆法");
}
/**
* 从第row行开始摆放皇后
* @param row
*/
void place(int row) {
if (row == 8) {
ways++;
show();
return;
}
for (int col = 0; col < 8; col++) {
int cv = 1 << col;
if ((cols & cv) != 0) continue;
int lv = 1 << (row - col + 7);
if ((leftTop & lv) != 0) continue;
int rv = 1 << (row + col);
if ((rightTop & rv) != 0) continue;
queens[row] = col;
cols |= cv;
leftTop |= lv;
rightTop |= rv;
place(row + 1);
cols &= ~cv;
leftTop &= ~lv;
rightTop &= ~rv;
}
}
void show() {
for (int row = 0; row < 8; row++) {
for (int col = 0; col < 8; col++) {
if (queens[row] == col) {
System.out.print("1 ");
} else {
System.out.print("0 ");
}
}
System.out.println();
}
System.out.println("------------------------------");
}
本文代码均可进行复制粘贴到编译器，后进行debug，来了解代码运行过程
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