1964. 找出到每个位置为止最长的有效障碍赛跑路线

这是我参与8月更文挑战的第21天，活动详情查看：8月更文挑战

1964. 找出到每个位置为止最长的有效障碍赛跑路线

思路分析

题目中要求障碍赛的终点必须大于等于前一个障碍，这不就是不递减子序列么，算出最大长度可以通过前面其他节点作为其答案，所以这是一道十分简单的状态规划，状态转移方程也呼之欲出

其中k代表所有满足obstacies[i] >= obstacies[k]的下标。

vector<int> dp(n, 0);
//vector<int> arr;
dp[0] = 1;
for(int i = 0 ;i < obstacies.size(); i++){
    for(int j = 0; j < i; j++){
        if(obstacies[i] >= obstacies[j]){
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
    }
}
return dp[n - 1];

然而这样就会使得时间复杂度变为O(n^2)，那么是否有办法剪枝呢？

基于贪心的思路，我们想到，为了使障碍长度最大，也就是子序列长度最大，我们应该尽可能的让子序列的值增长速度缓慢，而增长速度缓慢的另一种表达就是在相同长度下，递增子序列的末尾的值越小越好。

有人可能觉得，为什么只看末尾呢

这是因为在末尾值一定是obstacies[i]的情况下，obstacies[i - 1]一定作为之前的末尾值，参与计算过。

同时我们会发现这个记录i长度递增子序列末尾值数组一定是不严格递增的，假设arr[i] > arr[j] 且i < j。那么arr[j]所代表的递增子序列的的第i个位置x如果大于等于arr[i]，那么在x之后的arr[j]更应该大于等于arr[i],如果arr[j]所代表的递增子序列的的第i个位置x小于arr[i]，那么arr[i]应该等于x。