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剪绳子 II
剑指Offer 14 - II. 剪绳子 II
给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长度的m段（m、n都是整数，n > 1并且m > 1），每段绳子的长度记为k[0]，k[1]...k[m-1]。请问k[0] * k[1] * ... * k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回1。
示例1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例2：
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：2 <= n <= 1000
题解
法一 BigInt + 动态规划
与上题《剪绳子》不同的是，本题需要涉及“大数越界的求余问题”。因为Math.max不能求BigInt类型的最值，所以我们可以自己写个函数判断最值。
/**
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var cuttingRope = function (n) {
let dp = new Array(n+1).fill(BigInt(1));
for (let i = 3; i <= n; i++) {
for (let j = 1; j < i; ++j) {
dp[i] = max(dp[i], dp[j] * BigInt((i - j)), BigInt(j * (i - j)));
}
}
return dp[n] % (1000000007n);
};
const max = (...args) => args.reduce((prev, curr) => prev > curr ? prev : curr)
法二
- 一般求幂计算可以用Math.pow()
- 如果极大值的情况，那么用for循环替换，并对其进行取模运算，这样就不会造成值的溢出
/**
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var cuttingRope = function(n){
if(n===2) return 1;
if(n===3) return 2;
// a的含义：n能拆成的3的个数
const a = Math.floor(n/3);
const b = n % 3;
let max = 1;
// n是3的倍数
if(b===0){
// Math.pow(3,a);
for(let i = 0;i < a;i++){
max = 3 * max % (1e9+7);
}
return max;
}
// n是3k+1
if(b===1) {
max = 4;
for(let i = 0;i < a-1;i++){
max = 3 * max % (1e9+7);
}
return max;
}
max = 2;
for(let i = 0;i < a;i++){
max = 3 * max % (1e9+7);
}
return max;
}
二进制中1的个数
剑指Offer 15.二进制中1的个数
编写一个函数，输入是一个无符号整数（以二进制串的形式），返回其二进制表达式中数字为‘1‘的个数（也被称为汉明重量）。
示例1:
输入：n = 11 (控制台输入 00000000000000000000000000001011)
输出：3
解释：输入的二进制串 00000000000000000000000000001011 中，共有三位为 '1'。
示例2:
输入：n = 128 (控制台输入 00000000000000000000000010000000)
输出：1
解释：输入的二进制串 00000000000000000000000010000000 中，共有一位为 '1'。
示例3:
输入：n = 4294967293 (控制台输入 11111111111111111111111111111101，部分语言中 n = -3）
输出：31
解释：输入的二进制串 11111111111111111111111111111101 中，共有 31 位为 '1'。
提示：输入必须是长度为32的二进制串
题解
法一 运用api
/**
* @param {number} n - a positive integer
* @return {number}
*/
var hammingWeight = function(n) {
return n.toString(2).split('0').join('').length;
};
法二 循环检查二进制位
直接循环检查给定整数n的二进制的每一位是否为1。
当检查第i位时，我们可以让n与2^i进行与运算，当且仅当n的第i位为1时，运算结果不为0。
1 << 2 即 0001 -> 0010
var hammingWeight = function(n) {
let len = 0;
for(let i = 0;i < 32;i++){
if((n & (1 << i))!==0){ // 判断n的第i位是否不为0
len++;
}
}
return len;
};
时间复杂度O(k) （k=32），空间复杂度O(1)
法三 位运算优化
观察这个运算：n&(n- 1)，其预算结果恰为把n的二进制中的最低位1变为n之后的结果。
如：6&(6-1)=4，二进制6=(110),4=(100)，运算结果4即为把6的二进制位中的最低位的1变为0之后的结果。
这样我们可以利用这个位运算的性质加速我们的检查过程，在实际代码中，我们不断让当前的n与n-1做与运算，直到n变为0即可。因为每次运算会使得n的最低位的1被翻转，因此运算次数就等于n的二进制中1的个数。
var hammingWeight = function(n){
let ret = 0;
while(n){
n &= n-1;
ret++;
}
return ret;
}
时间复杂度：O(logN)。循环次数等于n的二进制位中1的个数，最坏情况下n的二进制位全部为1。我们需要循环次。
空间复杂度：O(1)
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