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第 1 部分 考纲分析
01 考纲分析
知识点
图的基本概念
图的存储结构
- 邻接矩阵
- 邻接表
- 十字链表
- 邻接多重表 图的遍历
- 深度优先遍历：DFS算法
- 广度优先遍历：BFS算法 图的应用
- 最小生成树：Prim算法、Kruskal算法 • 最短路径：Dijkstra算法、Floyd算法
- 拓扑排序：AOV网
- 关键路径：AOE网 重点
- 深度优先遍历：DFS算法
- 广度优先遍历：BFS算法
- 最小生成树：Prim算法、Kruskal算法 最短路径：Dijkstra算法、Floyd算法 难点
- 最短路径：Dijkstra算法、Floyd算法
第 2 部分 图的基本概念
一、图的基本概念
定义：图由数据元素和连接数据元素的线构成，其中数据元素称为顶点，连接顶点的线称为边
表示：图G记为G=(V,E)或G=(V(G),E(G))，其中V(G)表顶点的有限非空集合，E(G)表示顶点之间的边集合
如右图表示为：
G=(V,E)
V={1,2,3,4,5,6} E={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(1,5),(5,6),(2,6),(3,6)}
注意：
- 线性表有空表，树有空树，但图没有空图
- 图的顶点集V一定非空，但边集E可以为空 • |V|表图G中顶点的个数，也称图G的阶
- |E|表图G中边的个数
相关术语：
1.有向图
定义：若E是有向边（也称弧）的有限集合，则图G为有向图
表示：弧是顶点的有序对，记为<v,w>，其中v,w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头，该弧称为从顶点v到顶点w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v
2.无向图
定义：若E是无向边（简称边）的有限集合，则图G为无向图
表示：边是顶点的无序对，记为(v,w)或(w,v)，其中v,w是顶点，称为顶点v和 顶点w互为邻接边
如右图表示为： G=(V,E)
V={1,2,3,4,5,6}
E={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(1,5),(5,6),(2,6),(3,6)}
3.简单图
定义：若图G满足：①不存在重复边；②不存在顶点到自身的边，则称图G为简单图
注意：数据结构中仅讨论简单图
4.多重图
定义：若图G中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则图G为多重图
注意：多重图的定义是和简单图相对的
5.完全图（也称简单完全图）
定义：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称图G为无向完全图
在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称 图G为有向完全图
6.子图与生成子图
定义：若两个图G=(V,E)和G’=(V’,E’)，若V’是V的子集，且E’是E的子集，则称G’ 是G的子图，若满足V(G’)=V(G)的子图G’，则为G的生成子图
注意：
并非V和E的任何子集都能构成G的子图，因为这样的子集可能不是图
即E的子集中的某些边关联的顶点可能不在这个V的子集中
7.连通、连通图和连通分量
定义：若无向图中，从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的
若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图
无向图中的极大连通子图称为连通分量
注意：
• 如果一个图有n个顶点，并且有小于n-1条边，此图必为非连通图
8.强连通图、强连通分量
定义：若有向图中，从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称v和w是强连通的
若图G中任意两个顶点都是强连通的，则称图G为强连通图
有向图中的极大强连通子图称为强连通分量
注意：
- 强连通图与强连通分量是针对有向图
- 连通图与连通分量是针对无向图
9.生成树、生成森林
定义：连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图
对非连通图，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林
注意：
- 图中顶点数为n时，它的生成树含有n-1条边
- 对于生成树，若砍去一条边，则会变成非连通图，若加上一条边，会形成回路
- 极大连通子图要求图连通的前提下包含尽可能多的边
- 极小连通子图要求图连通的前提下包含最少的边
10.顶点的度、入度和出度
定义：
- 每个顶点的度即以该顶点为一个端点的边的数目
- 对无向图，顶点v的度是依附于该顶点的边的条数，记为TD(v) • 对有向图，顶点v的度分为入度和出度
- 入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(V)
- 出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(V)
- 顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD(v)=ID(v)+OD(v)
11.边的权和网
定义：在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该值称为该边的权,这种边上带有权值的图称为带权图，也称网
12.稠密图、稀疏图
定义：边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图
13.路径、路径长度和回路
定义：顶点𝑉𝑝到𝑉𝑞之间的一条路径是指顶点序列𝑉𝑝，𝑉1，𝑉2，𝑉3，⋯，𝑉𝑞 。
路径上边的数目称为路径长度
第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环
14.简单路径、简单回路
定义：在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径
除第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路称为 简单回路
15.距离
定义：从顶点𝑉𝑝出发到顶点𝑉𝑞的最短路径若存在，则此路径的长度称为从𝑉𝑝到𝑉𝑞的距离
若从顶点𝑉𝑝出发到顶点𝑉𝑞根本不存在路径，则记该距离为无穷（∞）
16.有向树
定义：有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图称为有向树
