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递归算法设计方法
由于二叉树是一种递归数据结构，后面涉及大量的二叉树递归算法设计，专门介绍递归算法设计的一般方法。
1.1 什么是递归
在定义一个过程或函数时如果出现调用本过程或本函数的成分，称为递归。若直接调用自身，称为直接递归。若过程或函数p调用过程或函数q，而q又调用p，称为间接递归。这里主要介绍直接递归。例如，有以下递归函数：
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n—1)+f(n—2) n≥3
对应的求解f（n）的递归算法fun（）如下。
计算fun（5）的过程如图6.16所示，图中向下箭头（用实线表示）表示递推或分解过程，向上箭头（用虚线表示）表示求值或返回过程，fun（n）上方的值表示其求解结果。
图6.16 fun（5）的计算过程
将前面的f（）函数的描述形式称为递归模型，fun（）是对应的递归算法。从中看到递归模型是递归算法的抽象，它反映了一个递归问题的递归结构。
一般地，递归模型由两部分组成，一部分为递归出口，它给出了递归的终止条件，例如，前面例子中的f（1）=1和f（2）=1就是递归出口；另一部分为递归体，它确定递归求解时的递推关系，例如，前面例子中的f（n）=f（n—1）+f（n—2）就是递归体。
递归算法求解过程的特征是：先将不能直接求解的问题转换成若干个相似的小问题，通过分别求解各子问题，最后获得整个问题的解。当这些子问题不能直接求解时，还可以再将它们转换成若干个更小的子问题，如此反复进行，直到遇到递归出口为止。这种自上而下将问题分解、求解，再自下而上引用、合并，求出最后解答的过程称为递归求解过程。这是一种分而治之的算法设计方法。
1.2 递归算法设计一般方法
递归算法的设计方法是，先确定对应的递归模型，再将其转换为递归算法。其核心思想是把问题简化分解为几个子问题，其中子问题的形式和算法与原问题算法相似，只是比原来简化。
因此，在设计递归算法时，应着重分析递归数据结构的递归运算，充分利用这类运算的特性进行递归设计。获取求解问题的递归模型的一般步骤如下。
（1）对原问题f（s）进行分析，假设出合理的“小问题”f（s′）（与数学归纳法中假设n=k—1时等式成立相似）；
（2）假设f（s′）是可解的，在此基础上确定f（s）的解，即给出f（s）与f（s′）之间的关系（与数学归纳法中求证n=k时等式成立的过程相似）；
（3）确定一个特定情况（如f（1）或f（0））的解，由此作为递归出口（与数学归纳法中求证n=1或n=0时等式成立相似）。
【例6.7】设计一个递归算法求一个整数数组中所有元素之和。
解：设f（a，i）为整数数组a中a[0]~a[i—1]这i个元素之和，这是大问题；小问题为f（a，i—1），它为a[0]~a*[i—2]这i—1个元素之和。假设f（a，i—1）已求出，则有f（a，i）= f（a，i—1）+a[i—1]，另外，f（a，1）=a[0]，即一个元素和等于这个元素值。对应的递归模型如下。
f(a,1)=a[0]
f(a,i)=f(a,i—1)+a[i—1] 当i >1时
相应的递归算法如下。
int fun(int a[],int i)
{ if(i==1) return a[0];
else return (fun(a,i—1)+a[i—1]);
}
【例6.8】对于不带头结点的非空单链表L（结点类型用SLinkNode表示），其结点值均为整数且所有结点值不相同，设计以下递归算法。
（1）求最大的结点值；
（2）求最小的结点值；
（3）正向输出所有结点值；
（4）反向输出所有结点值。
解：（1）对于不带头结点的单链表L，L是第一个数据结点的指针，L—>next也是一个不带头结点的单链表，它仅比单链表L少一个结点。设f1（L）计算单链表L中最大结点值，这是原问题，小问题为f1（L—>next），它计算单链表L—>next中最大结点值，如图6.17所示。
图6.17 不带头结点的单链表
假设f1（L—>next）已计算出来，显然有f1（L）=max（L—>data，f1（L—>next））；当单链表L中只有一个结点时有：f1（L）=L—>data。对应的递归模型如下。
对应的递归算法如下。
（2）分析同（1）小题。对应的递归算法如下。
（3）设f3（L）正向输出单链表L的所有结点值，这是原问题。小问题为f3（L—>next），它正向输出单链表L—>next的所有结点值。假设f3（L—>next）已输出，显然f3（L）等价于先输出L—>data值，再调用f3（L—>next）。当单链表L为空时，不做任何输出。对应的递归模型如下。
其中，“≡”表示等价关系，对应的递归算法如下。
（4）分析同（3）小题。对应的递归算法如下。
从以上算法设计看出，递归体的微小变化，会导致递归算法执行结果的大相径庭。如（3）和（4）算法中仅两个语句的次序颠倒，结果是前者正向输出所有结点值，后者反向输出所有结点值。
说明：对单链表设计递归算法时通常采用不带头结点的单链表。因为带有头结点，会导致L和L—>next结构不一致（前者有头结点，后者没有头结点）。
