576. 出界的路径数

这是我参与8月更文挑战的第15天，活动详情查看：8月更文挑战

576. 出界的路径数

给你一个大小为 m x n 的网格和一个球。球的起始坐标为 [startRow, startColumn] 。你可以将球移到在四个方向上相邻的单元格内（可以穿过网格边界到达网格之外）。你 最多 可以移动 maxMove 次球。

给你五个整数 m、n、maxMove、startRow 以及 startColumn ，找出并返回可以将球移出边界的路径数量。因为答案可能非常大，返回对 109 + 7 取余 后的结果。

 

• 示例 1：

输入：m = 2, n = 2, maxMove = 2, startRow = 0, startColumn = 0 输出：6

• 示例 2：

输入：m = 1, n = 3, maxMove = 3, startRow = 0, startColumn = 1 输出：12  

提示：

• 1 <= m, n <= 50
• 0 <= maxMove <= 50
• 0 <= startRow < m
• 0 <= startColumn < n

解题思路

数组定义

数组定义dp[i][j]为到达[i][j]时可能的路径数量，因为每一步dp[i][j]的路径数量只和上一步有关，因此我们可以用滚动数组的方法来迭代

状态转移

每个格子可以向其他四个方向移动，所以需要将当前位置的路径数量累加到周围的4个格子，如果移出了边界，则累加进入数组

初始化

球的起始坐标为 [startRow, startColumn] 路径数量置为1

代码

class Solution {
        public int findPaths(int m, int n, int maxMove, int startRow, int startColumn) {

            int[][] dir = {{1, 0}, {0, 1}, {-1, 0}, {0, -1}};
            int[][] dp = new int[m][n];
            int res=0,mod=1000000007;
            dp[startRow][startColumn]=1;
            for (int i=0;i<maxMove;i++)
            {
                int[][] newDp = new int[m][n];
                for (int k=0;k<m;k++)
                    for (int j=0;j<n;j++)
                    {
                        int old=dp[k][j];
                        if (old>0){
                            for (int[] d : dir) {
                                int r=d[0]+k,c=d[1]+j;
                                if (r>=0&&r<m&&c>=0&&c<n)
                                {
                                    newDp[r][c]=(old+newDp[r][c])%mod;
                                }else{
                                    res=(res+old)%mod;
                                }

                            }

                        }
                    }
                    dp=newDp;
            }
            return res;
        }
}

时间复杂度：O(maxMove×m×n)。动态规划需要遍历的状态数是 O(maxMove×m×n)，对于每个状态，计算后续状态以及出界的路径数的时间都是O(1)。

空间复杂度：O(m×n)。使用空间优化的实现，空间复杂度是 O(m×n)。