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简介

另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。

这里给出一个LCA的例子：

对于T=<V,E>

V={1,2,3,4,5}

E={(1,2),(1,3),(3,4),(3,5)}

则有：

LCA(T,5,2)=1

LCA(T,3,4)=3

LCA(T,4,5)=3

算法

离线算法 Tarjan

利用[并查集]优越的时空复杂度，我们可以实现LCA问题的O(n+Q)算法，这里Q表示询问的次数。

[Tarjan算法]基于[深度优先搜索]的框架，对于新搜索到 的一个结点，首先创建由这个结点构成的集合，再对当前结点的每一个子树进行搜索，每搜索完一棵子树，则可确定子树内的LCA询问都已解决。其他的LCA询问的结果必然在这个子树之外，这时把子树所形成的集合与当前结点的集合合并，并将当前结点设为这个集合的祖先。

之后继续搜索下一棵子树，直到当前结点的所 有子树搜索完。这时把当前结点也设为已被检查过的，同时可以处理有关当前结点的LCA询问，如果有一个从当前结点到结点v的询问，且v已被检查过，则由于 进行的是[深度优先搜索]，当前结点与v的最近公共祖先一定还没有被检查，而这个最近公共祖先的包涵v的子树一定已经搜索过了，那么这个最近公共祖先一定是v 所在集合的祖先。

下面给出这个算法的[伪代码]描述：

LCA(u){

Make-Set(u)

ancestor[Find-Set(u)]=u

对于u的每一个孩子v{

LCA(v)

Union(u)

ancestor[Find-Set(u)]=u

}

checked[u]=true

对于每个(u,v)属于P{

ifchecked[v]=true

then回答u和v的最近公共祖先为ancestor[Find-Set(v)]

}

}

由于是基于[深度优先搜索]的算法，只要调用LCA(root[T])就可以回答所有的提问了，这里root[T]表示树T的根，假设所有询问(u,v)构成集合P。

在线算法 倍增法

每次询问O(logN)

d[i] 表示 i节点的深度， p[i,,j] 表示 i 的 2^j 倍祖先

那么就有一个[递推]式子 p[i,,j]=p[p[i,,j-1],,j-1]

这样子一个O(NlogN)的预处理求出每个节点的 2^k 的祖先

然后对于每一个询问的点对(a, b)的最近公共祖先就是：

先判断是否 d[a] > d[b] ,如果是的话就交换一下(保证 a 的深度小于 b 方便下面的操作)，然后把b 调到与a 同深度, 同深度以后再把a, b 同时往上调(dec(j)) 调到有一个最小的j 满足p[a,,j]!=p[b,,j] (a b 是在不断更新的), 最后再把 a, b 往上调 (a=p[a,0], b=p[b,0]) 一个一个向上调直到a = b, 这时 a or b 就是他们的最近公共祖先。