三、拆分组合

2021.05.31

No.132 分割回文串-ii

给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文。返回符合要求的最少分割次数。

示例 1：

输入：s = "aab" 输出：1 解释：只需一次分割就可将 s 分割成 ["aa","b"] 这样两个回文子串。示例 2：

输入：s = "a" 输出：0 示例 3：

输入：s = "ab" 输出：1

提示：

1 <= s.length <= 2000 s 仅由小写英文字母组成

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/pa… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案一：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=132 lang=javascript
 *
 * [132] 分割回文串 II
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @return {number}
 */
var minCut = function (s) {
    let j, dp = new Array(s.length).fill(s.length)
    for (let i = 0; i < s.length; i++) {
        j = 0
        while (i - j >= 0 && i + j < s.length) {
            if (s[i - j] === s[i + j]) dp[i + j] = i - j === 0 ? 0 : dp[i + j] <= dp[i - j - 1] + 1 ? dp[i + j] : dp[i - j - 1] + 1
            else break
            j++
        }
        j = 0
        while (i - j >= 0 && i + j + 1 < s.length) {
            if (s[i - j] === s[i + j + 1]) dp[i + j + 1] = i - j === 0 ? 0 : dp[i + j + 1] <= dp[i - j - 1] + 1 ? dp[i + j + 1] : dp[i - j - 1] + 1
            else break
            j++
        }
    }
    return dp[s.length - 1]
};

方案二：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=132 lang=javascript
 *
 * [132] 分割回文串 II
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @return {number}
 */
var minCut = function (s) {
    var manacher = function(s){
    if(!s) return [];
    var lstRadios=[];
    //拼装manacher字符串
    s=s.replace(/\w/g,(a)=>{return '#'+a;})+'#';
    //三个指针，现在先定义中心指针c和最右指针r,剩下一个就是运动指针了
    var r=-1, c=-1;
    for(var i=0; i<s.length;i++){
        //判断i在不在r右侧
        //在，当前指针对应的半径无从判断，先赋值1
        //不在，就判断当前i以c为中心的对应指针i'的半径，
        //如果i'的半径超过了c半径的范围，就说明i的半径就为r-i+1；
        //如果i'的半径刚好在c半径的的范围内，且不在边界上，那么i的半径就为i'的半径
        //如果i'的半径刚好在c半径的指针上，那么i的半径是有可能再扩大的，需要再验证
        lstRadios[i]=r>i?Math.min(lstRadios[2*c-i],r-i+1):1;

        while(i+lstRadios[i]<s.length && i-lstRadios[i]>-1){
            if(s.charAt(i-lstRadios[i]) == s.charAt(i+lstRadios[i]))lstRadios[i]++;
            else break;
        }

        if(i+lstRadios[i]-1 > r){
            r=1+lstRadios[i]-1;
            c=i;
        }
    }
    return lstRadios;
};

if(s.length<=1) return 0;
    var lstRadios=manacher(s);
    var dp=[];
    for(var i=0; i<s.length; i++){
        if(dp[i] == undefined) dp[i]=i;
        if(i!=0)dp[i]=Math.min(dp[i-1]+1,dp[i]);
        //先以i为中点
        var d=lstRadios[2*i+1]/2 - 1;
        for(var j=1; j<=d; j++){
            if(dp[i+j] == undefined) dp[i+j]=i+j;
            dp[i+j]=Math.min(((i-j-1)>=0?(dp[i-j-1]+1):0),dp[i+j]);
        }
        //以i和i+1的中间为中心
        d=lstRadios[2*i+2]/2;
        if(d<=0)continue;
        for(var j=1; j<=d; j++){
            if(dp[i+j] == undefined) dp[i+j]=i+j;
            dp[i+j]=Math.min(((i-j)>=0?(dp[i-j]+1):0),dp[i+j]);
        }
    }
    return dp[s.length-1];

};

方案三：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=132 lang=javascript
 *
 * [132] 分割回文串 II
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @return {number}
 */
var minCut = function(s) {
    const n = s.length;
    const g = new Array(n).fill(0).map(() => new Array(n).fill(true));

    for (let i = n - 1; i >= 0; --i) {
        for (let j = i + 1; j < n; ++j) {
            g[i][j] = s[i] == s[j] && g[i + 1][j - 1];
        }
    }

    const f = new Array(n).fill(Number.MAX_SAFE_INTEGER);
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        if (g[0][i]) {
            f[i] = 0;
        } else {
            for (let j = 0; j < i; ++j) {
                if (g[j + 1][i]) {
                    f[i] = Math.min(f[i], f[j] + 1);
                }
            }
        }
    }

    return f[n - 1];
};

动态规划，有三种不同的实现方案：1、利用字符串的位置特性，只用一遍动态规划；2、利用manacher进行一个查找的优化；3、两次动态规划

2021.06.01

No.1278 分割回文串-iii

给你一个由小写字母组成的字符串 s，和一个整数 k。请你按下面的要求分割字符串：

首先，你可以将 s 中的部分字符修改为其他的小写英文字母。接着，你需要把 s 分割成 k 个非空且不相交的子串，并且每个子串都是回文串。请返回以这种方式分割字符串所需修改的最少字符数。

示例 1：

输入：s = "abc", k = 2 输出：1 解释：你可以把字符串分割成 "ab" 和 "c"，并修改 "ab" 中的 1 个字符，将它变成回文串。示例 2：

输入：s = "aabbc", k = 3 输出：0 解释：你可以把字符串分割成 "aa"、"bb" 和 "c"，它们都是回文串。示例 3：

输入：s = "leetcode", k = 8 输出：0

提示：

1 <= k <= s.length <= 100 s 中只含有小写英文字母。

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方案一：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=1278 lang=javascript
 *
 * [1278] 分割回文串 III
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var palindromePartition = function(s, k) {
    const n = s.length;
    const dp = Array.from({length: n}, () => Array(k+1).fill(100));
    const cost = Array.from({length: n}, () => Array(n).fill(0));
    
    for (let len = 1; len < n; len++) {
        for (let i = 0; i < n - len; i++) {
            const j = i + len;
            cost[i][j] = cost[i+1][j-1] + (s[i] == s[j] ? 0 : 1);
        }
    }
    
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        dp[i][1] = cost[0][i];
        for (let kk = 2; kk <= k; kk++) {
            for (let j = 0; j < i; j++) {
                dp[i][kk] = Math.min(dp[i][kk], dp[j][kk-1] + cost[j+1][i]);
            }
        }
    }
   
    return dp[n-1][k];
};

方案二：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=1278 lang=javascript
 *
 * [1278] 分割回文串 III
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var palindromePartition = function (s, k) {
  const m = s.length;
  const dp = Array.from(Array(k), () => Array(m));
  const map = Array.from(Array(m), () => Array(m));
  const helper = (i, j) => {
    const str = s.substring(i, j + 1);
    let res = 0;
    for (let l = 0; l < str.length / 2; l++)
      if (str[l] !== str[str.length - 1 - l]) res++;
    return res;
  };
  for (let i = 0; i < m; i++)
    for (let j = i; j < m; j++) map[i][j] = helper(i, j);

  for (let i = 0; i < k; i++) {
    for (let j = i; j < m; j++) {
      if (i === j || i === 0) {
        dp[i][j] = map[i][j]; // No need to remove, each char is a substring
        continue;
      }
      let res = Infinity;
      for (let k = 1; j - k >= i - 1; k++)
        res = Math.min(res, map[j + 1 - k][j] + dp[i - 1][j - k]);
      dp[i][j] = res;
    }
  }

  return dp[k - 1][m - 1];
};

两次dp，方法2对字符串进行了过滤截取

2021.06.02

No.1745 回文串分割-iv

给你一个字符串 s ，如果可以将它分割成三个非空回文子字符串，那么返回 true ，否则返回 false 。当一个字符串正着读和反着读是一模一样的，就称其为回文字符串。

示例 1：

输入：s = "abcbdd" 输出：true 解释："abcbdd" = "a" + "bcb" + "dd"，三个子字符串都是回文的。示例 2：

输入：s = "bcbddxy" 输出：false 解释：s 没办法被分割成 3 个回文子字符串。

提示：

3 <= s.length <= 2000 s 只包含小写英文字母。

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/pa… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=1745 lang=javascript
 *
 * [1745] 回文串分割 IV
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @return {boolean}
 */
var checkPartitioning = function(s) {
    let dp = new Array(s.length);
    for (let i = 0; i < dp.length; i++) {
        dp[i] = new Array(s.length).fill(true);
    }

    for (let i = s.length - 1; i >=0 ;i--) {
        for (let j = i; j < s.length; j++) {
            if (i !== j) {
                dp[i][j] = (s[i] == s[j]) && dp[i + 1][j - 1];
            }
        }
    }
    for (let i = 0; i < s.length - 2; i++) {
        if(dp[0][i] == false) continue;
        for (let j = i + 1; j < s.length - 1; j++) {
            if(dp[i+1][j] == false || dp[j + 1][s.length - 1] == false ) continue;
            if (dp[0][i] && dp[i + 1][j] && dp[j + 1][s.length - 1]) {
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
};

动态规划，对循环可进行提前判断

2021.07.02

No.139 单词拆分

给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。说明：

拆分时可以重复使用字典中的单词。你可以假设字典中没有重复的单词。示例 1：

输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"] 输出: true 解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以被拆分成 "leet code"。示例 2：

输入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"] 输出: true 解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以被拆分成 "apple pen apple"。注意你可以重复使用字典中的单词。示例 3：

输入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"] 输出: false

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/wo… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=139 lang=javascript
 *
 * [139] 单词拆分
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @param {string[]} wordDict
 * @return {boolean}
 */
var wordBreak = function(s, wordDict) {
    const n = s.length;
    const wordDictSet = new Set(wordDict);
    const dp = new Array(n + 1).fill(false);
    dp[0] = true;
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 0; j < i; j++) {
            if (dp[j] && wordDictSet.has(s.substr(j, i - j))) {
                dp[i] = true;
                break;
            }
        }
    }
    return dp[n];
};

典型动态规划问题，通过dp[i]确定切割位置

2021.07.07

No.140 单词拆分-ii

给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词列表的字典 wordDict，在字符串中增加空格来构建一个句子，使得句子中所有的单词都在词典中。返回所有这些可能的句子。说明：

分隔时可以重复使用字典中的单词。你可以假设字典中没有重复的单词。示例 1：

输入: s = "catsanddog" wordDict = ["cat", "cats", "and", "sand", "dog"] 输出: [ "cats and dog", "cat sand dog" ] 示例 2：

输入: s = "pineapplepenapple" wordDict = ["apple", "pen", "applepen", "pine", "pineapple"] 输出: [ "pine apple pen apple", "pineapple pen apple", "pine applepen apple" ] 解释: 注意你可以重复使用字典中的单词。示例 3：

输入: s = "catsandog" wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"] 输出: []

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/wo… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案一：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=140 lang=javascript
 *
 * [140] 单词拆分 II
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @param {string[]} wordDict
 * @return {string[]}
 */
var wordBreak = function(s, wordDict) {
    let dp = new Array(s.length + 1).fill(false)
    dp[0] = true
    for (let i = 1; i <= s.length; i++) {
        for (let j = 0; j <= i; j++) {
            if (dp[j] && wordDict.indexOf(s.slice(j, i)) >= 0) {
                dp[i] = true
                break
            }
        }
    }
    if(!dp[s.length]) return []
    let ans = []
    function backTrack(cur, str) {
        if(str.length == 0) {
            ans.push(cur)
            return
        }
        for(let i = 0; i < str.length; i++) {
            if(wordDict.indexOf(str.slice(0, i + 1)) >= 0) {
                if(cur.length > 0) backTrack(cur + ' ' + str.slice(0, i + 1), str.slice(i + 1))
                else backTrack(str.slice(0, i + 1), str.slice(i + 1))
            }
        }
    }
    backTrack('', s)
    return ans
};

方案二：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=140 lang=javascript
 *
 * [140] 单词拆分 II
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string} s
 * @param {string[]} wordDict
 * @return {string[]}
 */
var wordBreak = function(s, wordDict) {
    // 辅助函数
    const backtrack = (s, length, wordSet, index, map) => {
        if (map.has(index)) {
            return map.get(index);
        }
        const wordBreaks = [];
        if (index === length) {
            wordBreaks.push([]);
        }
        for (let i = index + 1; i <= length; i++) {
            const word = s.substring(index, i);
            if (wordSet.has(word)) {
                const nextWordBreaks = backtrack(s, length, wordSet, i, map);
                for (const nextWordBreak of nextWordBreaks) {
                    const wordBreak = [word, ...nextWordBreak]
                    wordBreaks.push(wordBreak);
                }
            }
        }
        map.set(index, wordBreaks);
        return wordBreaks;
    }

    const map = new Map();
    const wordBreaks = backtrack(s, s.length, new Set(wordDict), 0, map);
    const breakList = [];
    for (const wordBreak of wordBreaks) {
        breakList.push(wordBreak.join(' '));
    }
    return breakList;
};

有两种方案：1、借助139题先进行判断，然后再进行回溯；2、利用Map数据结构，直接回溯

2021.07.08

No.343 整数拆分

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。示例 1:

输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。示例 2:

输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/in… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案一：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=343 lang=javascript
 *
 * [343] 整数拆分
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var integerBreak = function(n) {
    // 利用均值不等式 x1 * x2 * ··· * xn ≤ ( ( x1 + x2 + ··· + xn ) / n )^n
    let max = -Infinity;
    for( let i = 2; i <= n; i++ ) {
        let v = -Infinity;
        if(n % i == 0) {
            v = Math.pow(n/i,i)
        } else {
            let v1 = Math.ceil(n/i),
                v2 = Math.floor(n/i)
            v = Math.max(
                Math.pow(v1,i-1) * (n - v1*(i-1)) , 
                Math.pow(v2,i-1) * (n - v2*(i-1))
            )
        }
        max = Math.max(v, max)
    }
    return max;
};

方案二：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=343 lang=javascript
 *
 * [343] 整数拆分
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var integerBreak = function(n) {
    const dp = new Array(n + 1);
    dp[1] = 1;  
    dp[2] = 1; 
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
      dp[i] = 0;
      // 对于数字 i，它可以分为两份：j 和 i-j，j 的范围是 1 到 i-j
      for (let j = 1; j <= i - j; j++) {
        // 对于 i-j 这部分可以拆或不拆，不拆就是 i-j，拆就是 dp[i-j]
        dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]);
      }
    }
    return dp[n];
};

有两种方案：1、数学方案，利用均值不等式进行判断处理；2、动态规划

2021.07.09

No.410 分割数组的最大值

给定一个非负整数数组 nums 和一个整数 m ，你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子数组。设计一个算法使得这 m 个子数组各自和的最大值最小。

示例 1：

输入：nums = [7,2,5,10,8], m = 2 输出：18 解释：一共有四种方法将 nums 分割为 2 个子数组。其中最好的方式是将其分为 [7,2,5] 和 [10,8] 。因为此时这两个子数组各自的和的最大值为18，在所有情况中最小。示例 2：

输入：nums = [1,2,3,4,5], m = 2 输出：9 示例 3：

输入：nums = [1,4,4], m = 3 输出：4

提示：

1 <= nums.length <= 1000 0 <= nums[i] <= 106 1 <= m <= min(50, nums.length)

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/sp… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案一：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=410 lang=javascript
 *
 * [410] 分割数组的最大值
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} m
 * @return {number}
 */
var splitArray = function(nums, m) {
    let max = 0
        sum = 0;
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (max < nums[i]) max = nums[i];
        sum += nums[i];
    }

    while (max < sum) {
        let mid = parseInt((sum - max) / 2, 10) + max;
        // 随机选择的值成立则这个值默认为最大的可能结果继续查找
        if (check(nums, mid, m)) {
        sum = mid;
        } else {
        // 不满足，重置最小可能结果
        max = mid + 1;
        }
    }



    function check(nums, val, m) {
        let sum = 0,
            index = 1;
        for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 如果分段和大于了假设的结果说明，i是该分段的终点，形成一个分段
        // index记录+1，i就成了下一个分段的起点（重置sum）开始校验下一个分段
        if (sum + nums[i] > val) {
            index++;
            sum = nums[i];
        } else {
            sum += nums[i];
        }
        }
        // 如果index即分段数量满足小于等于m则说明这个假设值成立
        return index <= m;
    }

    // 返回最小可能结果
    return max;
};

方案二：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=410 lang=javascript
 *
 * [410] 分割数组的最大值
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} m
 * @return {number}
 */
var splitArray = function(nums, m) {
    let len = nums.length,
        sumList = Array(len + 1).fill(0),
        dp = Array.from({ length: len + 1 }, () => Array(m + 1).fill(Number.MAX_VALUE));

    // 逐位增加，反面后面根据区间求区间和
    for (let i = 0; i < len; i++) {
        sumList[i + 1] = sumList[i] + nums[i];
    }

    // 默认值
    dp[0][0] = 0;

    for (let i = 1; i <= len; i++) {
        for (let j = 1; j <= Math.min(m, i); j++) {
        // 前i个数分成j段
        for (let x = j - 1; x < i; x++) {
            // x最后一段的起点
            // perv本轮分割完成 分段中最大的和
            let prev = Math.max(dp[x][j - 1], sumList[i] - sumList[x])
            // 该分割情况下最大分段和的最小值
            dp[i][j] = Math.min(prev, dp[i][j])
        }
        }
    }

    return dp[len][m]
};

有两种方案：1、二分法；2、动态规划

2021.07.11

No.413 等差数列划分

如果一个数列至少有三个元素，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。例如，以下数列为等差数列:

1, 3, 5, 7, 9 7, 7, 7, 7 3, -1, -5, -9 以下数列不是等差数列。

1, 1, 2, 5, 7

数组 A 包含 N 个数，且索引从0开始。数组 A 的一个子数组划分为数组 (P, Q)，P 与 Q 是整数且满足 0<=P<Q<N 。

如果满足以下条件，则称子数组(P, Q)为等差数组：

元素 A[P], A[p + 1], ..., A[Q - 1], A[Q] 是等差的。并且 P + 1 < Q 。

函数要返回数组 A 中所有为等差数组的子数组个数。

示例:

A = [1, 2, 3, 4]

返回: 3, A 中有三个子等差数组: [1, 2, 3], [2, 3, 4] 以及自身 [1, 2, 3, 4]。

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/ar… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案一：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=413 lang=javascript
 *
 * [413] 等差数列划分
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var numberOfArithmeticSlices = function(nums) {
    // 判断是否是等差数列
    const isArithmetic = arr => {
        const diff = arr[1] - arr[0];
        for( let p = 0, q = p+ 1; p < arr.length -1; p++, q++ ) {
            if( arr[q] - arr[p] != diff ) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    // 返回的个数
    let n = 0;

    for(let a = 0; a < nums.length - 2;a++ ) {
        for(let b = a + 2; b < nums.length; ) {
            if(!isArithmetic(nums.slice(a,b+1))) {
                break;
            } else {
                n++;
                b++
            }
        }
    }

    return n;
};

方案二：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=413 lang=javascript
 *
 * [413] 等差数列划分
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var numberOfArithmeticSlices = function(nums) {
    let len = nums.length
    if (len < 3) {
        return 0
    }
    let dp = Array(len).fill(0)
    for (let i = 2;i <= len;i++) {
        if (nums[i] - nums[i - 1] === nums[i - 1] - nums[i - 2]) {
        dp[i] = dp[i - 1] + 1
        }
    }
    return dp.reduce((prev, cur) => { return prev + cur }, 0)
};

有两种方案：1、暴解；2、动态规划

2021.07.12

No.416 分割等和子集

给你一个只包含正整数的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5] 输出：true 解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5] 输出：false 解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示：

1 <= nums.length <= 200 1 <= nums[i] <= 100

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/pa… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=416 lang=javascript
 *
 * [416] 分割等和子集
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {boolean}
 */
var canPartition = function(nums) {
    if(nums.length < 2) return false;
    const sum = nums.reduce((prev, curr) => prev + curr);
    if( sum % 2 !== 0) {
        return false;
    }
    const target = sum / 2;
    nums.sort((a,b) => b-a);
    if(nums[0] > target) {
        return false;
    }
    // 动态规划
    const dp = new Array(nums.length).fill(0).map(v => new Array(target + 1, false));
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        dp[i][0] = true;
    }
    dp[0][nums[0]] = true;
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        const num = nums[i];
        for (let j = 1; j <= target; j++) {
            if (j >= num) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j - num];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return dp[nums.length - 1][target];
};

NP完全，可转化为0-1背包问题，动态规划解决

2021.07.13

No.446 等差数列拆分 ii-子序列

如果一个数列至少有三个元素，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。例如，以下数列为等差数列:

1, 3, 5, 7, 9 7, 7, 7, 7 3, -1, -5, -9 以下数列不是等差数列。

1, 1, 2, 5, 7

数组 A 包含 N 个数，且索引从 0 开始。该数组子序列将划分为整数序列 (P0, P1, ..., Pk)，满足 0 ≤ P0 < P1 < ... < Pk < N。

如果序列 A[P0]，A[P1]，...，A[Pk-1]，A[Pk] 是等差的，那么数组 A 的子序列 (P0，P1，…，PK) 称为等差序列。值得注意的是，这意味着 k ≥ 2。

函数要返回数组 A 中所有等差子序列的个数。

输入包含 N 个整数。每个整数都在 -231 和 231-1 之间，另外 0 ≤ N ≤ 1000。保证输出小于 231-1。

示例：

输入：[2, 4, 6, 8, 10]

输出：7

解释：所有的等差子序列为： [2,4,6] [4,6,8] [6,8,10] [2,4,6,8] [4,6,8,10] [2,4,6,8,10] [2,6,10]

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/ar… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=446 lang=javascript
 *
 * [446] 等差数列划分 II - 子序列
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var numberOfArithmeticSlices = function(nums) {
    // 定义 i 的数组
    let dp = Array(nums.length).fill(0).map(x=> new Object())
    let ans = 0
    for(let i=1; i<nums.length; ++i){
        for(let j=0; j<i; ++j){
            let sub = nums[i] - nums[j]
            // 定义 sub 的键值对 [], 第0位代表序列长度为 2，从第1位开始满足题意要求
            if(!(sub in dp[i])){
                dp[i][sub] = [0]
            }
            dp[i][sub][0] += 1
            if(sub in dp[j]){
                for(let k=0; k<dp[j][sub].length; ++k){
                    if(dp[i][sub][k+1] === undefined) dp[i][sub][k+1] = 0
                    dp[i][sub][k+1] += dp[j][sub][k]
                    ans += dp[j][sub][k]
                }
            }
        }
    }
    return ans
};

动态规划

2021.07.14

No.698 划分为k个相等的子集

给定一个整数数组 nums 和一个正整数 k，找出是否有可能把这个数组分成 k 个非空子集，其总和都相等。示例 1：

输入： nums = [4, 3, 2, 3, 5, 2, 1], k = 4 输出： True 说明：有可能将其分成 4 个子集（5），（1,4），（2,3），（2,3）等于总和。

提示：

1 <= k <= len(nums) <= 16 0 < nums[i] < 10000

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/pa… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案一：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=698 lang=javascript
 *
 * [698] 划分为k个相等的子集
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} k
 * @return {boolean}
 */
var canPartitionKSubsets = function(nums, k) {
    const sum = nums.reduce((prev, curr) => prev + curr);
    if( sum % k !== 0 ) return false;
    const target = sum / k;
    nums.sort((a,b) => b - a);
    if(nums[0] > target) return false;
    // 动态规划
    const MAX_STATE = (1 << nums.length) - 1 // 1 <= N <= 16
    let dp = new Array(MAX_STATE + 1).fill(null)
    dp[0] = 0
    
    // 枚举所有状态，递推
    for (let state = 1; state <= MAX_STATE; ++state) { // O(2^N)
        for (let i = 0; i < nums.length; ++i) { // O(N)
        const iBit = 1 << i
        // 如果 state 表示未选取 nums[i] ，说明不能达到 (state, i) 状态
        if ((state & iBit) === 0) continue

        const prevState = state ^ iBit
        // NOTICE: 如果不能到达 prevState 状态
        if (dp[prevState] === null) continue
        const prevSubsetSum = dp[prevState] % target
        // 最优性剪枝优化：nums 已升序排序，如果 nums[i] 已偏大，后续更加偏大，无需尝试
        if (prevSubsetSum + nums[i] > target) break
        dp[state] = dp[prevState] + nums[i]
        }
    }

    // console.log(dp)
    return dp[MAX_STATE] === sum
};

方案二：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=698 lang=javascript
 *
 * [698] 划分为k个相等的子集
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} k
 * @return {boolean}
 */
var canPartitionKSubsets = function(nums, k) {
    const sum = nums.reduce((prev, curr) => prev + curr);
    if( sum % k !== 0 ) return false;
    const target = sum / k;
    nums.sort((a,b) => b - a);
    if(nums[0] > target) return false;
    // 回溯
    const sums = new Array(k).fill(0);
    const helper = (i, sums, target, nums, k) => {
        if(i === nums.length) return true;
        for( let j = 0; j< k; j++ ) {
            if(sums[j] < target && nums[i] + sums[j] <= target) {
                sums[j] += nums[i];
                if(helper(i+1, sums, target, nums, k)) {
                    return true;
                }
                sums[j] -= nums[i];
            }
        }

        return false;
    }

    return helper(0,sums, target, nums, k);
};

有两种方案：1、动态规划，用二进制对数组进行表示；2、回溯递归

2021.07.15

No.902 最大为N的数字组合

我们有一组排序的数字 D，它是 {'1','2','3','4','5','6','7','8','9'} 的非空子集。（请注意，'0' 不包括在内。）现在，我们用这些数字进行组合写数字，想用多少次就用多少次。例如 D = {'1','3','5'}，我们可以写出像 '13', '551', '1351315' 这样的数字。

返回可以用 D 中的数字写出的小于或等于 N 的正整数的数目。

示例 1：

输入：D = ["1","3","5","7"], N = 100 输出：20 解释：可写出的 20 个数字是： 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77. 示例 2：

输入：D = ["1","4","9"], N = 1000000000 输出：29523 解释：我们可以写 3 个一位数字，9 个两位数字，27 个三位数字， 81 个四位数字，243 个五位数字，729 个六位数字， 2187 个七位数字，6561 个八位数字和 19683 个九位数字。总共，可以使用D中的数字写出 29523 个整数。

提示：

D 是按排序顺序的数字 '1'-'9' 的子集。 1 <= N <= 10^9

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/nu… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案一：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=902 lang=javascript
 *
 * [902] 最大为 N 的数字组合
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string[]} digits
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var atMostNGivenDigitSet = function(digits, n) {
    digits.sort((a,b) => Number(a) - Number(b))
    // 获取n的位数
    const UNIT = (n + '').length;
    console.log('UNIT', UNIT)
    // 获取n对应位置数组
    const queue = (n + '').split('');
    let sum = 0;
    for(let i = 1; i < UNIT; i++) {
        sum += Math.pow(digits.length, i)
    }
    // 辅助函数
    const helper = (pos, queue, digits) => {
        if (pos === queue.length) {
            return 1;
        }
        
        let count = 0;
        
        for (let i = 0; i < digits.length; i++) {
            if (digits[i] < queue[pos]) {
                count += Math.pow(digits.length, queue.length - pos - 1);
            } else if (digits[i] == queue[pos]) {
                count += helper(pos + 1, queue, digits);
            } else {
                break;
            }
        }
        
        return count;
    }

    sum += helper(0, queue, digits)

    return sum;
};

方案二：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=902 lang=javascript
 *
 * [902] 最大为 N 的数字组合
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {string[]} digits
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var atMostNGivenDigitSet = function(digits, n) {
    const s = n + '';
    const K = s.length;
    const dp = new Array(K+1).fill(0);
    dp[K] = 1;

    for(let i = K -1; i >= 0; --i) {
        let si = s[i];
        for(let j=0; j < digits.length; j++) {
            if(digits[j] < si) {
                dp[i] += Math.pow(digits.length, K-i-1)
            } else if(digits[j] == si) {
                dp[i] += dp[i+1];
            }
        }
    }

    for(let k=1; k< K; ++k) {
        dp[0] += Math.pow(digits.length, k)
    }

    return dp[0]
};

有两种方案：1、递归；2、动态规划

2021.07.16

No.923 三数之和的多种可能

给定一个整数数组 A，以及一个整数 target 作为目标值，返回满足 i < j < k 且 A[i] + A[j] + A[k] == target 的元组 i, j, k 的数量。由于结果会非常大，请返回结果除以 10^9 + 7 的余数。

示例 1：

输入：A = [1,1,2,2,3,3,4,4,5,5], target = 8 输出：20 解释：按值枚举（A[i]，A[j]，A[k]）： (1, 2, 5) 出现 8 次； (1, 3, 4) 出现 8 次； (2, 2, 4) 出现 2 次； (2, 3, 3) 出现 2 次。示例 2：

输入：A = [1,1,2,2,2,2], target = 5 输出：12 解释： A[i] = 1，A[j] = A[k] = 2 出现 12 次：我们从 [1,1] 中选择一个 1，有 2 种情况，从 [2,2,2,2] 中选出两个 2，有 6 种情况。

提示：

3 <= A.length <= 3000 0 <= A[i] <= 100 0 <= target <= 300

来源：力扣（LeetCode）链接：leetcode-cn.com/problems/3s… 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

方案：

/*
 * @lc app=leetcode.cn id=923 lang=javascript
 *
 * [923] 三数之和的多种可能
 */

// @lc code=start
/**
 * @param {number[]} arr
 * @param {number} target
 * @return {number}
 */
var threeSumMulti = function(arr, target) {
    console.log('arr', arr.length)
    // mod数
    const mod = (10**9)+7;
    // 阶乘
    const factorial = n => {
        if (0 === n) {
            return 1;
        }
        let res = 1;
        for (let i = 1; i <= n; ++i) {
            res *= i;
        }
        return res;
    }
    // Cmn函数
    const combination = (m,n) => {
        let s = 1;
        for(let i =0;i< n;i++) {
            s *= (m - i);
        }
        return s / factorial(n)
    }
    console.log('combination', combination(3000,3))
    // 数组去重 并按从小到大排序
    const _ = Array.from(new Set(arr)).sort((a,b) => a-b);
    const LEN = _.length,
          MAX = _[LEN-1],
          MIN = _[0];
    console.log('_', _)
    // 在去重数组中去选择符合要求的三个数
    let i = 0,
        j = LEN - 1,
        m = ~~((i+j)/2);
    // r用于存储符合要求的数组
    const r = [];
    for(let i=0; i < LEN; i++) {
        let j= LEN -1;
        for(let m = i; m <= j;) {
            if(_[i]+_[m]+_[j] == target) {
                r.push([_[i], _[m], _[j]])
            }
            if(_[i]+_[m]+_[j]>target && m < j) {
                j--;
                m--
            }
            m++
        }
    }
    console.log('r', r)
    // 构建值对应数量的map
    const map = {};
    for(let num = 0; num < LEN; num++) {
        let key = _[num],
        value = arr.filter(f => f == key).length;
        map[key] = value;
    }
    console.log('map', map)
    // 对r进行排查
    let sum = 0;
    r.forEach(item => {
        if(item[0] == item[1] && item[1] == item[2]) {
            if(map[`${item[0]}`] >= 3) {
                console.log('走了 A A A')
                sum += combination(map[`${item[0]}`], 3)
            }
        } else if(item[0] != item[1] && item[1] == item[2]) {
            if(map[`${item[1]}`] >= 2) {
                console.log('走了 A B B')
                sum += combination(map[`${item[0]}`], 1)*combination(map[`${item[1]}`], 2)
            }
        } else if(item[0] == item[1] && item[1] != item[2]) {
            if(map[`${item[0]}`] >= 2) {
                console.log('走了 A A B')
                sum += combination(map[`${item[0]}`], 2)*combination(map[`${item[2]}`], 1)
            }
        } else if(item[0] != item[1] && item[1] != item[2] && item[0] != item[2]) {
                console.log('走了 A B C')
                sum += combination(map[`${item[0]}`], 1)*combination(map[`${item[1]}`], 1)*combination(map[`${item[2]}`], 1)
        } 
    })
    console.log('sum', sum)
    return sum % mod;
};

三指针法，阶乘可进行动态规划实现

总结：

拆分组合问题关键在于对问题的转移方程定义及建模，将状态可以逐步转移，从而解决问题；

在状态方程建立过程中，常常需要结合其他常见方法如指针、递归等方法来进行优化

前端常见算法题(动态规划篇)--下

三、拆分组合

2021.05.31

No.132 分割回文串-ii

方案一：

方案二：

方案三：

2021.06.01

No.1278 分割回文串-iii

方案一：

方案二：

2021.06.02

No.1745 回文串分割-iv

方案：

2021.07.02

No.139 单词拆分

方案：

2021.07.07

No.140 单词拆分-ii

方案一：

方案二：

2021.07.08

No.343 整数拆分

方案一：

方案二：

2021.07.09

No.410 分割数组的最大值

方案一：

方案二：

2021.07.11

No.413 等差数列划分

方案一：

方案二：

2021.07.12

No.416 分割等和子集

方案：

2021.07.13

No.446 等差数列拆分 ii-子序列

方案：

2021.07.14

No.698 划分为k个相等的子集

方案一：

方案二：

2021.07.15

No.902 最大为N的数字组合

方案一：

方案二：

2021.07.16

No.923 三数之和的多种可能

方案：

总结：