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不同的二叉搜索树（题号96）
题目
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1：
输入：n = 3
输出：5
示例 2：
输入：n = 1
输出：1
提示：
1 <= n <= 19
链接
解释
这题啊，这题是小斐波那契数列。
说实话，原理还是十分类似的，想想斐波那契数列是怎么求解的？
function fib(n) {
const arr = [0, 1]
for (let i = 2; i <= n; i++) {
arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2]
}
return arr[n]
}
这里的求解方法是缓存之前的值，根据旧的值推导出新的值，这题也是同样的想法。
求1和2就不说了，想想3是什么情况，因为是二叉搜索树，所以从上到下的顺序只有一种，所以只要考虑左右两棵树的情况即可。
如果总共有3个节点，肯定有一个是头节点，这里不表。
那么左右子树有多少种可能呢？
| 左子树节点数 | 右子树节点数 | 可能性 |
|---|---|---|
| 0 | 2 | 2 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 2 |
这么一看是不是就清楚了，如果觉得不清楚咱们再看看4个节点的情况：
| 左子树节点数 | 右子树节点数 | 可能性 |
|---|---|---|
| 0 | 3 | 5 |
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 1 | 2 |
| 3 | 0 | 5 |
对吧，可能性的多少和节点的个数是有一定规律的，规律也很简单，就是用左右子树分配节点的个数，那么在拿到节点个数后，首先需要去掉一个头节点，之后依次分配给左右子树，取它们可能性的乘积即可。
不过这里需要注意一点，在0节点的时候，需要按照可能性为1来处理，要不然0乘以任何数都为0，这不直接GG了么。
那么现在，只需要一个时间复杂度为O(nlogn)的算法就可以了，上代码！
自己的答案（双循环）
function numTrees(n) {
const arr = [0, 1, 2]
for (let i = 0; i <= n; i++) {
let count = 0
for (let j = 0; j < i; j++) {
if (!j || j === i - 1) {
count += Math.max(arr[j], arr[i - 1])
} else {
count += arr[j] * arr[i - 1 - j]
}
}
if (!arr[i]) arr[i] = count
}
return arr[n]
};
笔者的方法比官方复杂了一些，主要是考虑到了n为0的情况，其实完全不需要考虑，因为官方已经给定了条件：
1 <= n <= 19
这是完全不需要担心的事情，只需要把数组种的0改成1就会简单很多。
更好的方法（双循环）
官方答案看起来就清爽很多了：
function numTrees(n) {
const arr = new Array(n + 1).fill(0)
arr[0] = 1
arr[1] = 1
for (let i = 2; i <= n; i++) {
for (let j = 1; j <= i; j++) {
arr[i] += arr[j - 1] * arr[i- j]
}
}
return arr[n]
}
因为去掉了n为0的情况，而且第一层循环是从2开始的，所以很多特殊情况都不需要考虑了，而且在一开始给定了数组长度，这样就不用像笔者一样需要通过count变量来累计可能性了，直接在数组上进行修改即可，方便快捷。
更好的方法（数学）
这一部分就不解释了，据说是 卡塔兰数 ，笔者也没有研究。
var numTrees = function(n) {
let C = 1;
for (let i = 0; i < n; ++i) {
C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
}
return C;
};
奇思妙想
这题有一个答案看起来很有趣，经典的面向测试用例编程，哈哈哈。
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
switch(n){
case 1: return 1;
case 2: return 2;
case 3: return 5;
case 4: return 14;
case 5: return 42;
case 6: return 132;
case 7: return 429;
case 8: return 1430;
case 9: return 4862;
case 10: return 16796;
case 11: return 58786;
case 12: return 208012;
case 13: return 742900;
case 14: return 2674440;
case 15: return 9694845;
case 16: return 35357670;
case 17: return 129644790;
case 18: return 477638700;
case 19: return 1767263190;
default: return 0;
}
}
};
非常切合题意， 可真是个小机灵鬼儿 。
PS：想查看往期文章和题目可以点击下面的链接：
这里是按照日期分类的👇
经过有些朋友的提醒，感觉也应该按照题型分类
这里是按照题型分类的👇
