前缀和

前缀和定义

前缀和是一个数组的某项下标之前(包括此项元素)的所有数组元素的和。
原数组：a[1],a[2],a[3],a[4],a[5];
前缀和：s[i]表示原数组前i个元素的和，及s[i]=a[1]+a[2]+a[3]+……+a[i]

注意：前缀和的存储需要从下标1开始，因为需要用到前0个数的和。

前缀和的作用

用于以O(1)的时间复杂度求出数组的区间和。

例如求数组a[1]+a[2]+a[3]的和，即可使用sum=s[3]-s[0]得到，不需要逐个遍历。

一维数组求解前缀和

例题：已知区间，求出区间和。

代码:

void init(int a[],int s[],int n)//初始化函数，求出前缀和数组  
{                               //需要参数原数组a，前缀和数组s，长度n 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		s[i]=s[i-1]+a[i];
	}
 } 
int sum(int s[],int l,int r)// 求和函数，使用求和函数前需要调用初始化函数，
{							//需要参数提供参数，前缀和数组以及范围。 
	return s[r]-s[l-1];
}

二维数组求解前缀和

二位数组求子矩阵的和，s[i][j]表示：左上角坐标为（1，1）（第一行和第一列不存值），右下角坐标为（i，j）矩阵的和。

原数组为a[][]，前缀和数组为s[][].

求前缀和：s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
例如求s[5][5]=s[4][5]+s[5][4]-s[4][4]+a[5][5].

求子矩阵的和：左上角为（x1，y1），右下角为（x2，y2）
Sum=s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1];
求如图蓝色区域的和：sum=s[4][5]-s[4][1]-s[1][5]+s[1][1];

代码

void init(int a[][N],int s[][N],int n,int m)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
		}	
	}	
} 
int sum(int s[][N],int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	return s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1];
}