数据结构《学习笔记》——二叉树这篇是树的学习笔记，总体思路还是很清晰的，介绍了一些二叉搜索树的一些基本操作，以及如何用代

这是我参与8月更文挑战的第8天，活动详情查看：8月更文挑战

一、树的介绍

树：n(n >= 0)个节点构成的有限集合
对于任一棵非空树(n > 0)，具备以下性质：
- 树中有一个称为**"根"**的特殊节点
- 其余节点可分为m(m > 0)个互不相交的有限集T1、T2、...、Tm，其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的**"子树"**

树的性质是很多的...

节点的度：树的节点个数
叶节点：度为0的节点（也称为叶子节点）
节点的层次：规定根节点在1层，其它任一节点的层数是其父节点的层数加1

二、二叉树

二叉树的特性

一个二叉树第i层的最大节点数为：2^(i-1), i>=1

比如第一层（根节点）为1个；第二层最多为2节点
深度为k的二叉树有最大节点总数为：2^k-1, k>=1
对任何非空二叉树T，若n0表示叶节点(度为0)的个数，n2表示度为2的非叶节点个数，那么两者满足关系n0 = n2 + 1

a. 完全二叉树

除二叉树最后一层外，其他各层的节点数都达到最大个数
且最后一层从左向右达到叶节点连续存在，只缺右侧若干节点
下面的图从左到右看，E有右子节点但是D没有，所以不是完全二叉树。如果给D加一个右子节点，那么它就是完全二叉树

完全二叉树.png

b. 完美二叉树(满二叉树)

在二叉树中，除了最下一层的叶节点外，每层节点都有2个子节点，就构成了满二叉树

满二叉树.png

二叉树的存储方式可以是数组也可以是链表，但是我们一般用链表。因为使用数组的是否如果该二叉树不是满二叉树，会造成很多空间的浪费。

三、二叉搜索树

二叉搜索树是一颗二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：
非空左子树的所有键值小于其根节点的键值
非空右子树的所有键值大于其根节点的键值
左、右子树本身也都是二叉搜索树

二叉搜索树初始化

首先，二叉搜索树有一个根节点，初始化让这个根节点指向空；this.root = null;
其次，二叉搜索树的每一个节点包含3个元素，左子节点、右子节点和键值；初始状态下指针指向空
```
function Node() {
    this.key = key;
    this.left = null;
    this.right = null;
}
```

四、二叉搜索树常见方法

insert(key):向树中插入一个新的键
search(key):在树中查找一个键，如果节点存在，则返回true；如果不存在，返回false
inOrderTraverse:通过中序遍历方式遍历所有节点
preOrderTraverse:通过先序遍历方式遍历所有节点
postOrderTraverse:通过后序遍历方式遍历所有节点
min:返回树中的最小的值/键
max:返回树中的最大的值/键
remove(key):从树中移除某个键

1. `insert`方法

根据key创建节点

判断根节点是否有值；如果根节点为null时直接插入，否则进行下一步操作

BinarySearchTree.prototype.insert = function (key) {
    var newNode = new Node(key);
    if (this.root == null) {
        this.root = newNode;
    } else {
        this.insertNode(this.root, newNode);
    }
}

在搜索树进行插入操作的时候，如果插入的值大于根节点，那么就要把该节点插到根节点的右子节点；如果此时根节点已经有右子节点了，那就应该继续让这个要插入的节点的值和该右子节点进行比较插入；这个过程其实就是在套娃，一直到这个左或者右节点为空的时候就停止，所以这里用递归来实现，用另一个函数来进行对节点的插入。

BinarySearchTree.prototype.insertNode = function (node, newNode) {
    if (newNode.key < node.key) {
        if (node.left == null) {
            node.left = newNode;
        } else {
            this.insertNode(node.left, newNode);
        }
    } else {
        if (node.right == null) {
            node.right = newNode;
        } else {
            this.insertNode(node.right, newNode);
        }
    }
}

2. 遍历二叉搜索树

由于树的结构是比较特殊的，在遍历节点的时候我们往往都是采用递归的方法来实现。

a. 先序遍历

访问根节点
先先序遍历其左子树，再先序遍历右子树

BinarySearchTree.prototype.preOrderTraversalNode = function (node, handler) {
    if (node != null) {
        handler(node.key);
        this.preOrderTraversalNode(node.left, handler);
        // 3. 处理经过节点的右子节点
        this.preOrderTraversalNode(node.right, handler);
    }
}
//--------
var resultString = ''
tree.preOrderTraversal(function (key) {
    resultString += key + ' ';
})

这里的handler是一个处理结点的回调函数，便于我们看遍历的结果；在先序遍历中，我们要先遍历所有的左子节点，再处理经过节点的右子节点；比如下面这张图：

这里用的递归思路还是有一点复杂的，是一个个函数的嵌套，遍历结束之后一个个跳出来的，需要花一点时间来理解。

遍历7的左节点到5的时候，先遍历3，3是叶节点，继续遍历6（此时的node是5），遍历完5的左右节点之后，就继续遍历7的右子节点。

先序遍历.png

b. 中序遍历

中序遍历其左子树
访问根节点
中序遍历右子树

if (node != null) {
    this.inOrderTraversalNode(node.left, handler);
    handler(node.key);
    this.inOrderTraversalNode(node.right, handler);
}

c. 后序遍历

后序遍历其左子树，再后序遍历其右子树
访问根节点

if (node != null) {
    this.inOrderTraversalNode(node.left, handler);
    this.inOrderTraversalNode(node.right, handler);
    handler(node.key);
}

理解了先序遍历之后，中序遍历和后序遍历都是用递归的方式实现，不同之处在于何时来处理节点。

3. 最大值&最小值

最大值和最小值在数中是很容易找的。最左边的子节点（左下）就是最小值；最右边的子节点（右下）就是最大值。这里演示查找最大值。

获取根节点
依次向右查找，直到节点为null

BinarySearchTree.prototype.max = function () {
    var node = this.root;
    var key = null;
    while (node != null) {
        key = node.key
        node = node.right
    }
    return node.key
}

在查找的时候，一直都找右节点，直到这个右节点的值为空的时候返回这个节点的键值。

4. 搜索特定的值

这个方法可以通过递归的方法实现，也可以通过循环来进行搜索

递归；将查找值和当前节点的值进行对比，如果较小就往左子树找，如果较大就往右子树上查找，直到node.key == key时，返回true，如果经过这些步骤之后还是找不到的话就返回false。

BinarySearchTree.prototype.searchNode = function (node, key) {
    if (node == null) {
        return false;
    }
    if (node.key > key) {
        return this.searchNode(node.left, key);
    } else if (node.key < key) {
        return this.searchNode(node.right, key);
    } else {
        return true;
    }
    return false;
}

循环先获取根节点，再循环搜索key

循环的话会比较好理解一点，就是键值比较，决定往左子树还是右子树遍历，直到找到目标值。

var node = this.root;
while (node != null) {
    if (node.key > key) {
        node = node.left;
    } else if (node.key < key) {
        node = node.right;
    } else {
        return true;
    }
}
return false;

删除操作是最复杂的，那就放在下一篇文章吧！今天学不下去了aaa...codewhy老师真的讲的好棒！

数据结构《学习笔记》——二叉树