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最小路径和（题号64）
题目
给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例 1：
输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例 2：
输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12
提示：
m == grid.lengthn == grid[i].length1 <= m, n <= 2000 <= grid[i][j] <= 100
链接
解释
这题啊，这题是经典动态规划。
虽然是中等题吧，但笔者感觉它不配。
DP嘛，先搞它一个双层数组，数量和grid保持一致就好了，完事之后开始进行初始化数据的赋值，首先第一行可以搞出来，因为第一行没有上面的元素，所以只能从左侧走，那这就很简单了：
for (let i = 0; i < n; i++) {
dp[0][i] = i ? grid[0][i] + dp[0][i - 1] : grid[0][i]
}
现在也可以处理下第一列，不过感觉没必要，放在循环里面也可以的，这里暂不处理。
那么接下来就是搞出来DP公式，这里的公式没有多复杂的逻辑，要想到达一个块，只能从这个块的上面或者左边走过来，取最小值即可，那么当前块的最少路径就是刚才求到的最小值加上当前块的值，也就是：
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + gird[i][j]
对吧，十分简单，现在别忘了还需要处理下每一列第一个块的问题，因为这些块的左侧是没有元素的，所以只能从上一列的第一块走下来，所以这些块的值是：
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j]
那么此时就可以通过两层循环来拿到所有的dp值，然后根据题意，选最后一个就完事了。
至此，简单的动态规划就完成了，下面看看代码。
自己的答案（双数组）
var minPathSum = function(grid) {
const m = grid.length
const n = grid[0].length
const dp = Array.from({length: m}, () => new Array(n).fill(0))
for (let i = 0; i < n; i++) {
dp[0][i] = i ? grid[0][i] + dp[0][i - 1] : grid[0][i]
}
for (let i = 1; i < m; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
if (!j) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j]
} else {
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
}
}
}
return dp[m - 1][n - 1]
};
这一块的逻辑和解释中说的一样，没有区别，此时的时间可以到90%，内存消耗在70%左右，证明在空间复杂度上还有优化空间，这里的优化也是经典的动态规划降维优化👇。
自己的答案（降维）
上面说了要降低空间复杂度，那么最经典的做法就是将DP数组从二维降到一维，这是完全可行的，并且非常简单。
回到题目，每个块的最小值只和它上边和左边的块有关系，那么完全可以只维护一个一维数组，每次都将这个数组当作上面一行即可，然后从左边开始更新，这样当前位置的左边的值可以当作这一行的值，后面的值当作上一行的值，如此即可。
var minPathSum = function(grid) {
const m = grid.length
const n = grid[0].length
const dp = new Array(n)
for (let i = 0; i < n; i++) {
dp[i] = (i ? dp[i - 1] : 0) + grid[0][i]
}
for (let i = 1; i < m; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
dp[j] = (j ? Math.min(dp[j - 1], dp[j]) : dp[j]) + grid[i][j]
}
}
return dp[n - 1]
};
如此即可用一维数组来解决这个问题，最后的答案就是DP数组的最后一个元素，在这段代码的两个for循环里面有一个判断j是否存在的代码，这里的这个逻辑就不能提出来了，因为每一行的第一个元素都需要实时计算，这也是和上面解法的不同之处。
更好的方法
无
PS：想查看往期文章和题目可以点击下面的链接：
这里是按照日期分类的👇
经过有些朋友的提醒，感觉也应该按照题型分类
这里是按照题型分类的👇
