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本文标题：WebGL第二十课：位移很奇怪及其矩阵表达（涉及数学推导）｜ 8月更文挑战
引子
前两次课分别讲了拉伸和旋转的矩阵表达。但是我们并没有讲一个根基的东西，凭什么就一定可以找到一个矩阵来表达呢。这个东西涉及到很多线性代数的东西，不能过多展开。
总之，拉伸和旋转是能够用矩阵来表达的，而位移则不同。不信我们来试试。
将(xy)向右移动1个单位
我们知道最后的结果是 (x+1y)
我们现在的目标就是找到一个矩阵，使得：
[abcd] * (xy)=(x+1y)
如果能成功找到，说明可以用矩阵来表达位移，如果不能找到，就说明不能用矩阵来表达位移。
将 (xy) = (10) 代入计算
过程不写了，得到
(ab) = (10)
将 (xy) = (01) 代入计算
过程不写了，得到
(cd) = (11)
根据上面的结果，貌似得到一个式子：
[1011] * (xy)=(x+1y)
确实：
(10)变成了(20)
(01)变成了(11)
是往右位移了一个单位。
验证上述结果是否满足其他的点
例如，随便找一个点 (23)，看看是否能变成(33)
开始计算：
[1011] * (23) =
(10)∗2+(11)∗3 =
(20)+(33)=(53)=(33)
显然，上面的矩阵，不适用于点(23)，即
点(23)无法通过左乘这个矩阵变成(33)。
某种操作到底能不能用矩阵来表达，是一个数学问题，拉伸和旋转可以，而位移就不行。大家先要记住这个结论。如果有感兴趣的，去看一看线性变换的概念，也就是说，只要是线性变换的操作就可以用矩阵来表达。这里不展开讨论。
解决办法: 升维
难道就真不能用矩阵来表达位移了吗？
错！升维！
维度打击即将来临，面对高维攻击，低维生物完全无法抗衡！
我们确实不能找到一个矩阵：
[abcd] * (xy)=(x+1y)
但是，看好了：
⎣⎡abcdefghi⎦⎤ * ⎝⎛xy1⎠⎞=⎝⎛x+1y1⎠⎞
如果上式中的矩阵能找到，即对于所有⎝⎛xy1⎠⎞代入的话，等式都能成立，会有什么奇妙的东西出现吗？
当然有，只要你忽略结果中的第三维, 我们就能用这个 3 * 3 的矩阵来表达二维向量的位移了。
解决上式，找到 3 * 3 的这个矩阵
这里我们不进行代入法计算了，直接给出最后的结果：
⎣⎡abcdefghi⎦⎤ = ⎣⎡100010101⎦⎤, 即
任意 ⎝⎛xy1⎠⎞ 左乘上述矩阵，得到的结果都是：
⎝⎛x+1y1⎠⎞。
我们来验证一下这个矩阵是否是对的：
⎣⎡100010101⎦⎤ * ⎝⎛xy1⎠⎞ =
⎝⎛100⎠⎞∗x+⎝⎛010⎠⎞∗y+⎝⎛101⎠⎞∗1 =
⎝⎛x+1y1⎠⎞。【验证完毕】
位移的一般式
擅于发现规律和理解线性组合的小伙伴，应该已经发现了，如果我们想要 x 位移 a，y 位移 b。
只需要将上面的矩阵改写一下就行了：
⎣⎡100010ab1⎦⎤
即：
⎣⎡100010ab1⎦⎤ * ⎝⎛xy1⎠⎞ = ⎝⎛x+ay+b1⎠⎞。
至于如何一眼看出上面的结论，请用线性组合的眼光去看待矩阵乘法，一切都不过是小菜一碟。
总结
一个二维向量，即一个二维坐标点，如果想要用矩阵乘法，来进行位移的话
- 二维本身不够用
- 将这个坐标加一维，第三维写一个固定的1
然后左乘上述矩阵就可以得到想要的结果了。
当然结果中的第三维，你使用的时候，可以忽略他。
好吧，暂时忽略。
其实他还是有点作用的。这个后面再说。
正文结束，下面是答疑
小瓜瓜说：为什么坐标的第三维一定是1，其他数字不行吗？
