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剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列
题目
写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入：n = 2
输出：1
示例 2：
输入：n = 5
输出：5
提示：
0 <= n <= 100
方法一
递归 （超时） ：递归出口为n==0 || n==1，否则根据定义fib(n) = fib(n - 1) + fib(n - 2)
class Solution {
public final int MOD = 1000000007;
public int fib(int n) {
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return 1;
return (fib(n - 1) + fib(n - 2)) % MOD;
}
}
注意： 当我们在计算f(20)时会计算f(19)和f(18)，当计算f(19)时会计算f(18)和f(17)，可以看到f(18)被重复计算。所以n越小，重复计算次数就会越多。
方法二
记忆化搜索：由于方法一中存在很多重复计算，因此可以开一个哈希表记录已经计算过的值，来减少运算。
class Solution {
public final int MOD = 1000000007;
HashMap<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
public int fib(int n) {
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return 1;
if (hash.containsKey(n)) return hash.get(n);
int res = (fib(n - 1) + fib(n - 2)) % MOD;
hash.put(n, res);
return res;
}
}
方法三
动态规划：根据题意初始状态为f(0)=0，f(1)=1。状态转移方程为f(n) = f(n-1) + f(n-2)。可以看到对于每一个n的计算，只依赖于n-1、n-2，所以我们只需要定义两个变量即可。
class Solution {
public final int MOD = 1000000007;
public int fib(int n) {
int p1 = 0, p2 = 1;
if (n == 0) return p1;
if (n == 1) return p2;
int sum = 0;
for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
sum = (p1 + p2) % MOD;
p1 = p2;
p2 = sum;
}
return sum;
}
}
时间复杂度： O(n)
空间复杂度： O(1)
剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题
题目
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
示例 2：
输入：n = 7
输出：21
示例 3：
输入：n = 0
输出：1
提示：
0 <= n <= 100
方法一
记忆化搜索：和剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列类似
class Solution {
public final int MOD = 1000000007;
HashMap<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
public int numWays(int n) {
if (n == 0) return 1;
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
if (hash.containsKey(n)) return hash.get(n);
int res = (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % MOD;
hash.put(n, res);
return res;
}
}
方法二
动态规划：根据题意初始状态为f(1)=1，f(2)=2。状态转移方程为f(n) = f(n-1) + f(n-2)。可以看到对于每一个n的计算，只依赖于n-1、n-2，所以我们只需要定义两个变量即可。
class Solution {
public final int MOD = 1000000007;
public int numWays(int n) {
if (n == 0) return 1;
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
int p1 = 1, p2 = 2;
int sum = 0;
for (int i = 3; i <= n; i ++ ) {
sum = (p1 + p2) % MOD;
p1 = p2;
p2 = sum;
}
return sum;
}
}
时间复杂度： O(n)
空间复杂度： O(1)
