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一、什么是二分查找？
二分查找针对的是一个有序的数据集合，每次通过跟区间中间的元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间缩小为0。
二、时间复杂度分析？
1. 时间复杂度
假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，最坏的情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。所以，每次查找的数据大小是：n，n/2，n/4，…，n/(2^k)，…，这是一个等比数列。当n/(2^k)=1时，k的值就是总共缩小的次数，也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1，可求得k=log2n，所以时间复杂度是O(logn)。
2. 认识O(logn)
- 这是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么？
- 因为logn是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，也就是42亿，而logn才32。
- 由此可见，O(logn)有时就是比O(1000)，O(10000)快很多。
三、如何实现二分查找？
1.循环实现
代码实现：
public int binarySearch1(int[] a, int val){
int start = 0;
int end = a.length - 1;
while(start <= end){
int mid = start + (end - start) / 2;
if(a[mid] > val) end = mid - 1;
else if(a[mid] < val) start = mid + 1;
else return mid;
}
return -1;
}
注意事项：
- 循环退出条件是：start<=end，而不是start<end。
- mid的取值，使用mid=start + (end - start) / 2，而不用mid=(start + end)/2，因为如果start和end比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致，可以将除以2转换成位运算，即start + ((end - start) >> 1)，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
- start和end的更新：start = mid - 1，end = mid + 1，若直接写成start = mid，end=mid，就可能会发生死循环。
2.递归实现
public int binarySearch(int[] a, int val){
return bSear(a, val, 0, a.length-1);
}
private int bSear(int[] a, int val, int start, int end) {
if(start > end) return -1;
int mid = start + (end - start) / 2;
if(a[mid] == val) return mid;
else if(a[mid] > val) end = mid - 1;
else start = mid + 1;
return bSear(a, val, start, end);
}
四、使用条件（应用场景的局限性）
- 二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。
- 二分查找针对的是有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。
- 数据量太小不适合二分查找，与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外，就是数据之间的比较操作非常费时，比如数组中存储的都是长度超过300的字符串，那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
- 数据量太大也不是适合用二分查找，因为数组需要连续的空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。
五、思考
1. 如何在1000万个整数中快速查找某个整数？
- 1000万个整数占用存储空间为40MB，占用空间不大，所以可以全部加载到内存中进行处理；
- 用一个1000万个元素的数组存储，然后使用快排进行升序排序，时间复杂度为O(nlogn)
- 在有序数组中使用二分查找算法进行查找，时间复杂度为O(logn)
2. 如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位？
#牛顿迭代法
def sqrt1(x):
y = 1.0
while abs(y * y - x) > 1e-6:
y = (y + x/y)/2
return y
#使用二分法
def sqrt2(x):
if x > 1:
a = 1.0
b = x
else:
a = x
b = 1.0
y = (a + x)/2
while abs(y * y - x) > 1e-6:
if y * y > x:
b = y
y = (y + a) /2
else:
a = y
y = (y + b) /2
return y
3. 为何我们会选择用数组而不是链表来实现二分查找了。
假设链表长度为n，二分查找每次都要找到中间点(计算中忽略奇偶数差异): 第一次查找中间点，需要移动指针n/2次； 第二次，需要移动指针n/4次； 第三次需要移动指针n/8次； ...... 以此类推，一直到1次为值
总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + ...+ 1，这显然是个等比数列，根据等比数列求和公式：Sum = n - 1.
最后算法时间复杂度是：O(n-1)，忽略常数，记为O(n)，时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同。
六、常见的二分查找变形问题
1.查找第一个值等于给定值的元素
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
else high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的 ;如果 mid 不等于 0，但 a[mid] 的前一个元素 a[mid-1] 不等于 value，那也说明 a[mid] 就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。
2.查找最后一个值等于给定值的元素
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
else low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
3.查找第一个大于等于给定值的元素
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] >= value) {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
else high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
4.查找最后一个小于等于给定值的元素
public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
else low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
七、思考：
如果有一个有序循环数组，比如4，5，6，1，2，3。针对这种情况，如何实现一个求“值等于给定值”的二分查找算法？
方法一、
- 找到分界下标，分成两个有序数组
- 判断目标值在哪个有序数据范围内，做二分查找 方法二、
- 找到最大值的下标 x;
- 所有元素下标 +x 偏移，超过数组范围值的取模;
- 利用偏移后的下标做二分查找；
- 如果找到目标下标，再作 -x 偏移，就是目标值实际下标。
