本文标题：WebGL第十五课：直角坐标系中向量应用-位置和位移｜ 8月更文挑战
引子
在这里，不得不再次提一次向量：一堆数，放在一起而已。
为什么总是要强调这一点，或者说我这个说法到底是不是对的呢？
如果你用过c++，肯定知道里面的vector，vector的含义就是向量，而c++中的vector基本上就是一个动态的数组。这与我们的说法是一致的。
之所以强调这一点，是为了简化我们的思维，不要一提起向量，满脑子都是图形学里的那些概念，或者中学里学过的那些概念，那些只不过是向量这个数学工具在特定领域的实际应用而已。
假设我们的目标是熟练掌握向量这个工具的话，那么：
如果我们一提起向量，就想到一堆数竖着放，这个画面感的话，我们就初步成功了；
然后，脑海里就要有向量加减法，向量数乘这两个概念和相应的画面。我们就离目标更近了一步；
接下来是啥，当然是向量的线性组合，这其实是由向量加减法和向量数乘组合起来的一种运算，依然要在脑海里有印象，请记得小明和小红把零食分给小刚的故事。
好了，到这里，我们课程中向量的概念就回顾完了。上面不清楚的小伙伴可以翻到前面的课程先了解一下。
二维直角坐标系中的向量
根据我们对于向量的含义，任何一个二维直角坐标系中的一个点的坐标，都是向量。
有小伙伴要懵了："我们老师说过，点不是向量，你得画上箭头才是向量！！！"
先把定义写出来：一堆数，放在一起。先不要关注竖着写，横着写，那是为了排版。
回答：
- 点不是向量，对的；
- 但是
点的坐标确实就是向量，因为就符合我们对于向量的定义，符合定义那就是向量。
我们写两个坐标看看：
- (0, 1)
- (1.5, 0.8)
- (3.8, 10)
各位看看，上面三个坐标，写出来，是不是符合我们的定义呢。老符合了，对吧。
我们在二维直角坐标系里面，画出上面三个向量看一看：
我们发现了什么，每一个向量，都能在二维坐标系里画出来成为一个点。
每一个点，也能用坐标表达式，写成一个向量。
这是我们初步把向量和二维直角坐标系联系起来。
研究距离-向量的模
我们在上图研究一下，ABC三个点，到原点的距离。用肉眼可见的感觉，A是最近的，B是其次，C最远，对吧。
既然引进了向量，那么我们研究这个问题就要用到向量。
ABC三个点，他们的坐标，都是向量。任一点的坐标给出来是(x, y)的话，那么
而根据坐标和勾股定理，我们可以得出这个点到原点的距离：
我们向量吸取这个式子，称之为 向量的模。
一句话说明一下：将向量看成坐标，画在直角坐标系里成为一个点，这个点到原点的距离，就是向量的模。
也就是说，我们可以利用向量的模来解决直角坐标系中的距离问题。
A和B的距离
我们上面给出了向量的模,能够解决坐标系中任一点到原点的距离问题。
但是好像不能解决，任一点到其他点(非原点)的距离问题。
这怎么办呢？
不急，我们先从勾股定理入手，这是我们实打实的求距离的老办法了。
- A点坐标假设是(x, y)
- B点坐标假设是(a, b)
根据勾股定理得出，AB距离为：
观察上面的式子，发现和向量的模的式子形式上很像。
不妨这样来看，把x-a 和 y-b组合起来，看做一个新的向量：
(a-x, b-y)
那么上面的式子，就变成了，求这个向量的模。
我们带入AB的数据，把这个向量写出来如下：
(1.5, -0.2)
我们也将这个向量，画到坐标系中，如下图D：
我们发现，这个点，画出来之后，和AB真实八竿子打不着啊。
那么为什么这个到原点的距离，就是AB之间的距离呢。
看下图，一目了然：
做两条辅助线之后，我们的视野就清晰了。我们马上进行以下推导逻辑：
- D点到原点的距离，就AB之间的距离
- D点坐标
向量的模，就是AB之间的距离
问题就来了，D点向量是如何由AB得来的呢？
再观察一下D点向量的式子：(a-x, b-y)
我们再画一张图：
很清晰了，原来，向量减法有这个用处！
到此，我们可以用`向量`，来解决坐标系中，`任意两点`之间的`距离`问题了。
向量在坐标系中的另一种画法：矢量箭头
我们一般人的直觉就是，坐标系中的点，一定就是一个位置。
这是非常好的直觉。也请你不要改动这个直觉。
但是，上例中的D点，这个位置，很不舒服给人的感觉，因为D点的向量，代表着从A到B的一个算距离的过程。
也就是说，上例中的D点，这个位置本身没什么实际含义。但是向量画出来，确实就是在D点。
好吧，我们重新画一下这个例子：
观察，A到B的矢量箭头图形。这就是我们D点向量的矢量箭头画法。
矢量箭头画法的好处一目了然：
- 有头有尾
- 有方向
- 还有长度
比较一下，画点的劣势：
-
不能代表头尾，因为我们光看D点，看不出，出发点是A点。
至此，向量是有方向的这个说法，就出来了。
对于坐标系中向量的总结
我们以后再观察坐标系点的时候，一定要有两种思维：
-
- 这个点代表一个位置 (例如A点)
-
- 这个点代表两点之间的位移（例如D点）
而根据一个点的坐标，可以写成向量：
-
- 某个向量可以代表一个位置（A点坐标向量）
-
- 某个向量可以代表两点之间的位移（D点坐标向量）
上面四点，就是核心要记住的东西。
我们在实际应用的时候，这两种思维经常交叉穿梭，只要头脑清醒就没问题。
一个小例子，加强理解
小明从 A点（1, 2） 出发开始跑步
他跑的位移，我们最后用画成点，是B点(3，4)
问：小明最后到达了C点，C点的坐标是什么？
解析：我们分析问题之前，先看每个点，到底是表达了位置，还是位移。
- A点很明显，代表了小明的初始位置。
- B点代表了小明的位移。
- C点代表了小明的最后的位置。
很清晰了，我们在图中画出来：
首先根据B点代表位移，而位移在前面我们用的向量减法，如下：
B = C - A
换一下式子两边的位置，根据加法的交换性：-->
C = A + B
然后根据向量加法的式子，得出C点坐标为（4, 6）。
正文结束，下面是答疑
小能能说：上面的例子，小明跑步这个。其实就是把OB这跟虚线，平移到A点那里，就得出C点了吧？
-
答：对的。但是这个搞法，是为了辅助理解，是一种几何上的搞法。
