RSA加密

• 取模运算mod 取余运算%

• 原根：

  • 原根是一种数学符号，设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根 （其中φ(m)表示m的欧拉函数）
  • 假设一个数g是P的原根，那么g^i mod P的结果两两不同，且有 1<g<P，0<i<P，归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且仅当指数为P-1的时候成立 (这里P是素数)
  • 简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数），其中i≠j且i, j介于1至(p-1)之间，则g为p的原根
  • 例：3^x mod 17 = y,此时3 < 17且17为质数，那么x的取值范围为1~16时，结果y的范围也是1~16且x != y，3即是17的原根

• 欧拉函数 φ

  • 互质：如果两个正整数，除了1以外，没有其他公约数，那么这两个数就为互质关系
  • 求小于等于n且与n互质的数有多少个的函数，称为欧拉函数，表示为φ(n)
  • 例如φ(8) = 4，即1,3,5,7，φ(7) = 6，即1,2,3,4,5,6

• 欧拉函数特点

  • 当n是质数的时候，φ(n) = n - 1
  • 如果n可以分解成两个互质的整数之积，如n = A * B，则:φ(A*B) = φ(A) * φ(B)
  • 根据以上两点得到:如果N是两个质数P1和P2的乘积，则φ(N) = φ(P1) * φ(P2) = (P1 - 1) * (P2 - 1)

• 欧拉定理

  • 如果两个正整数m和n互为质数，那么m的φ(n)次方减1可以被n整除，即m^φ(n) mod n ≡ 1
  • 费马小定理:欧拉定理的特殊情况，如果两个正整数m和n互为质数，且n也为质数，那么φ(n)的结果就是n - 1，即m^(n-1) mod n ≡ 1

• 公式转换

∵ 1^k ≡ 1 1 * m ≡ m
∴ m ^ φ(n) mod n ≡ 1
∴ m ^ k * φ(n) mod n ≡ 1
∴ m ^ k * φ(n) + 1 mod n = m (等号左右两边都乘以m)

• 模反元素

  • 如果两个正整数e和x互质，那么一定可以找到整数d，使得ed - 1被x整除，那么d就是e对于x的模反元素。

e * d mod x ≡ 1
e * d = kx + 1 (ed是x的倍数加1)
m ^ ed mod n ≡ m

- 最终推导出`m ^ ed mod n = m` (见6.公式转换，此时`e`和`φ(n)`互质，`d`是`e`相对于`φ(n)`的模反元素)
- 特性：只要`d`是`e`相对于`φ(n)`的模反元素，那么`m`和`n`可以不是互质关系，只要`m < n`，等式即可成立。

• 迪菲赫尔曼秘钥交换

  • m ^ ed mod n ≡ m公式继续推演(d是e对φ(n)的模反元素)
  • --> m ^ e mod n = C 即加密，e&n是公钥
  • --> C ^ d mod n = m 即解密，d&n是私钥
  • 同理m ^ d mod n = C C ^ e mod n = m，即e & d既可以加密，也可以解密。

• 终端体验RSA

  • openssl genrsa -out private.pem 1024 生成长度为1024bit的RSA私钥
  • openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem 从私钥中提取公钥
  • openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt 将私钥转成明文进行查看
  • openssl rsautl -encrypt -in msg.txt -inkey public.pem -pubin -out encrypt.txt 用公钥将msg.txt文件加密为enctypt.txt
  • openssl rsautl -decrypt -in encrypt.txt -inkey private.pem -out decrypt.txt 用私钥将encrypt.txt解密为decrypt.txt

• 生成证书

  • openssl req -new -key private.pem -out rsacert.csr 请求csr证书
  • openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey private.pem -out rsacert.crt 用csr请求crt证书
  • openssl pkcs12 -export -out p.p12 -inkey private.pem -in rsacert.crt 导出p12证书
  • openssl x509 -outform der -in rsacert.crt -out rsacert.der 导出der证书
  • iOS代码实现RSA加密与解密，der证书即为私钥，p12即为公钥