18天算法基础系列课（一）复杂度

什么是算法：算法是解决一系列特定问题的执行步骤

如何判定算法好坏：

事后统计法

如果单从执行效率上评估，我们会想到比较对同一组数据处理时间，这种方法叫做事后统计法，这种方案有比较明显的缺点：

• 执行时间依赖于硬件以及运行时等不确定因素影响
• 必须编写对应的测试代码
• 测试数据难保证公正性

大O表示法

一般从以下维度评估算法优劣

• 确定性、可读性、健壮性（对不合理输入的反应和处理能力）
• 时间复杂度（time comflexity）：估算程序指令执行次数（执行时间）
• 空间复杂度（space comflexity）：估算所需占用的存储空间

为了描述算法复杂度，使用“O”表示，O表示数据规模n对应的复杂度

使用数字即可表示复杂度，就记为O(1)

• 9->O(1)
  使用n表示复杂度，记为O(n)
• 2n+3 -> O(n)
  使用$n^2$表示复杂度，记为O($n^2$)
• $n^2+2n+1$->O($n^2$) 以次类推，可以写成O($n^3$)，O($n^4$)等等

常见的复杂度

执行次数	复杂度	非正式术语
9	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
$log_{2}{n}$	O(logn)	对数阶
$n^2+2n+1$	O($n^2$)	平方阶
$2n+nlog_{2}{n}+10$	O(nlogn)	nlogn阶
$n^3+4n+1$	O($n^3$)	立方阶
$2^n$	O($2^n$)	指数阶

常用复杂度排序： O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O($n^2$) < O($n^3$) < O($2^n$) < O(n!) < O($n^n$)

注意：大O表示法仅仅是一个粗略的分析模型，是一种估算，在短时间内分析出算法执行效率

后续还会穿插介绍算法评价的其他角度：

• 最好最坏复杂度
• 均摊复杂度
• 复杂度震荡
• 平均复杂度

借助函数生成工具计算算法复杂度：zh.numberempire.com/graphingcal…

算法复杂度案例

O(1)

for (int i = 0; i < 4; i++) {
   System.out.println("test");
}

O(n)

for (int i = 0; i < n; i++) {
   System.out.println("test");
}

for (int i = 0; i < n; i++) {
   for (int j = 0; j < 15; j++) {
      System.out.println("test");
   }
}

O($n^2$)

for (int i = 0; i < n; i++) {
   for (int j = 0; j < n; j++) {
      System.out.println("test");
   }
}

O(logn)

// 执行次数 = log2(n)
// O(logn)
while ((n = n / 2) > 0) {
   System.out.println(n);
}

O(nlogn)

执行次数 = log2(n)*n
for (int i = 1; i < n; i = i * 2) {
   for (int j = 0; j < n; j++) {
      System.out.println("test");
   }
}