【每日算法】详解为何能从 LCS 问题转化为 LIS 问题，以及 LIS 贪心解的正确性证明 ｜Python 主题月

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1713. 得到子序列的最少操作次数 ，难度为 中等。

Tag : 「最长公共子序列」、「最长上升子序列」、「贪心」、「二分」

给你一个数组 target ，包含若干 互不相同 的整数，以及另一个整数数组 arr ，arr 可能 包含重复元素。

每一次操作中，你可以在 arr 的任意位置插入任一整数。比方说，如果 arr = [1,4,1,2] ，那么你可以在中间添加 3 得到 [1,4,3,1,2] 。你可以在数组最开始或最后面添加整数。

请你返回 最少 操作次数，使得 target 成为 arr 的一个子序列。

一个数组的 子序列 指的是删除原数组的某些元素（可能一个元素都不删除），同时不改变其余元素的相对顺序得到的数组。比方说，[2,7,4] 是 [4,2,3,7,2,1,4] 的子序列（加粗元素），但 [2,4,2] 不是子序列。

示例 1：

输入：target = [5,1,3], arr = [9,4,2,3,4]

输出：2

解释：你可以添加 5 和 1 ，使得 arr 变为 [5,9,4,1,2,3,4] ，target 为 arr 的子序列。

示例 2：

输入：target = [6,4,8,1,3,2], arr = [4,7,6,2,3,8,6,1]

输出：3

提示：

• 1 <= target.length, arr.length <= $10^5$
• 1 <= target[i], arr[i] <= $10^9$
• target 不包含任何重复元素。

基本分析

为了方便，我们令 $target$ 长度为 $n$，$arr$ 长度为 $m$，$target$ 和 $arr$ 的最长公共子序列长度为 $max$，不难发现最终答案为 $n - max$。

因此从题面来说，这是一道最长公共子序列问题（LCS）。

但朴素求解 LCS 问题复杂度为 $O(n * m)$，使用状态定义「$f[i][j]$ 为考虑 a 数组的前 $i$ 个元素和 b 数组的前 $j$ 个元素的最长公共子序列长度为多少」进行求解。

而本题的数据范围为 $10^5$，使用朴素求解 LCS 的做法必然超时。

一个很显眼的切入点是 $target$ 数组元素各不相同，当 LCS 问题增加某些条件限制之后，会存在一些很有趣的性质。

其中一个经典的性质就是：当其中一个数组元素各不相同时，最长公共子序列问题（LCS）可以转换为最长上升子序列问题（LIS）进行求解。同时最长上升子序列问题（LIS）存在使用「维护单调序列 + 二分」的贪心解法，复杂度为 $O(n\log{n})$。

因此本题可以通过「抽象成 LCS 问题」->「利用 $target$ 数组元素各不相同，转换为 LIS 问题」->「使用 LIS 的贪心解法」，做到 $O(n\log{n})$ 的复杂度。

基本方向确定后，我们证明一下第 $2$ 步和第 $3$ 步的合理性与正确性。

证明

1. 为何其中一个数组元素各不相同，LCS 问题可以转换为 LIS 问题？

本质是利用「当其中一个数组元素各不相同时，这时候每一个“公共子序列”都对应一个不重复元素数组的下标数组“上升子序列”，反之亦然」。

我们可以使用题目给定的两个数组（$target$ 和 $arr$）理解上面的话。

由于 $target$ 元素各不相同，那么首先 $target$ 元素和其对应下标，具有唯一的映射关系。

然后我们可以将重点放在两者的公共元素上（忽略非公共元素），每一个“公共子序列”自然对应了一个下标数组“上升子序列”，反之亦然。

注意：下图只画出了两个数组的某个片段，不要错误理解为两数组等长。

如果存在某个“公共子序列”，根据“子序列”的定义，那么对应下标序列必然递增，也就是对应了一个“上升子序列”。

反过来，对于下标数组的某个“上升子序列”，首先意味着元素在 $target$ 出现过，并且出现顺序递增，符合“公共子序列”定义，即对应了一个“公共子序列”。

至此，我们将原问题 LCS 转换为了 LIS 问题。

2. 贪心求解 LIS 问题的正确性证明？

朴素的 LIS 问题求解，我们需要定义一个 $f[i]$ 数组代表以 $nums[i]$ 为结尾的最长上升子序列的长度为多少。

对于某个 $f[i]$ 而言，我们需要往回检查 $[0, i - 1]$ 区间内，所有可以将 $nums[i]$ 接到后面的位置 $j$，在所有的 $f[j] + 1$ 中取最大值更新 $f[i]$。因此朴素的 LIS 问题复杂度是 $O(n^2)$ 的。

LIS 的贪心解法则是维护一个额外 $g$ 数组，$g[len] = x$ 代表上升子序列长度为 $len$ 的上升子序列的「最小结尾元素」为 $x$。

整理一下，我们总共有两个数组：

• $f$ 动规数组：与朴素 LIS 解法的动规数组含义一致。$f[i]$ 代表以 $nums[i]$ 为结尾的上升子序列的最大长度；
• $g$ 贪心数组：$g[len] = x$ 代表上升子序列长度为 $len$ 的上升子序列的「最小结尾元素」为 $x$。

由于我们计算 $f[i]$ 时，需要找到满足 $nums[j] < nums[i]$，同时取得最大 $f[j]$ 的位置 $j$。

我们期望通过 $g$ 数组代替线性遍历。

显然，如果 $g$ 数组具有「单调递增」特性的话，我们可以通过「二分」找到符合 $g[idx] < nums[i]$ 分割点 $idx$（下标最大），即利用 $O(\log{n})$ 复杂度找到最佳转移位置。

我们可以很容易 通过反证法结合 $g$ 数组的定义来证明 $g$ 数组具有「单调递增」特性。

假设存在某个位置 $i$ 和 $j$，且 $i < j$，不满足「单调递增」，即如下两种可能：

• $g[i] = g[j] = x$：这意味着某个值 $x$ 既能作为长度 $i$ 的上升子序列的最后一位，也能作为长度为 $j$ 的上升子序列的最后一位。 根据我们对 $g$ 数组的定义，$g[i] = x$ 意味在所有长度为 $i$ 上升子序列中「最小结尾元素」为 $x$，但同时由于 $g[j] = x$，而且「上升子序列」必然是「严格单调」，因此我们可以通过删除长度为 $j$ 的子序列后面的元素（调整出一个长度为 $i$ 的子序列）来找到一个比 $g[i]$ 小的合法值。 也就是我们找到了一个长度为 $i$ 的上升子序列，且最后一位元素必然严格小于 $x$。因此 $g[i] = g[j] = x$ 恒不成立；

• $g[i] > g[j] = x$：同理，如果存在一个长度为 $j$ 的合法上升子序列的「最小结尾元素」为 $x$ 的话，那么必然能够找到一个比 $x$ 小的值来更新 $g[i]$。即 $g[i] > g[j]$ 恒不成立。

根据全序关系，在证明 $g[i] = g[j]$ 和 $g[i] > g[j]$ 恒不成立后，可得 $g[i] < g[j]$ 恒成立。

至此，我们证明了 $g$ 数组具有单调性，从而证明了每一个 $f[i]$ 均与朴素 LIS 解法得到的值相同，即贪心解是正确的。

动态规划 + 贪心 + 二分

根据「基本分析 & 证明」，通过维护一个贪心数组 $g$，来更新动规数组 $f$，在求得「最长上升子序列」长度之后，利用「“公共子序列”和“上升子序列”」的一一对应关系，可以得出“最长公共子序列”长度，从而求解出答案。

Java 代码：

class Solution {
    public int minOperations(int[] t, int[] arr) {
        int n = t.length, m = arr.length;
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            map.put(t[i], i);
        }
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int x = arr[i];
            if (map.containsKey(x)) list.add(map.get(x));
        }
        int len = list.size();
        int[] f = new int[len], g = new int[len + 1];
        Arrays.fill(g, Integer.MAX_VALUE);
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            int l = 0, r = len;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (g[mid] < list.get(i)) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            int clen = r + 1;
            f[i] = clen;
            g[clen] = Math.min(g[clen], list.get(i));
            max = Math.max(max, clen);
        }
        return n - max;
    }
}

Python 3 代码：

class Solution:
    def minOperations(self, t: List[int], arr: List[int]) -> int:
        n, m = len(t), len(arr)
        map = {num:i for i,num in enumerate(t)}
        lt = []
        for i in range(m):
            x = arr[i]
            if x in map:
                lt.append(map[x])
        length = len(lt)
        f, g = [0] * length, [inf] * (length + 1)
        maximum = 0
        for i in range(length):
            l, r = 0, length
            while l < r:
                mid = l + r + 1 >> 1
                if g[mid] < lt[i]:
                    l = mid
                else:
                    r = mid - 1
            clen = r + 1
            f[i] = clen
            g[clen] = min(g[clen], lt[i])
            maximum = max(maximum, clen)
        return n - maximum

• 时间复杂度：通过 $O(n)$ 复杂度得到 $target$ 的下标映射关系；通过 $O(m)$ 复杂度得到映射数组 $list$；贪心求解 LIS 的复杂度为 $O(m\log{m})$。整体复杂度为 $O(n + m\log{m})$
• 空间复杂度：$O(n + m)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1713 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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