斐波那契

什么是斐波那契数列

斐波那契数列是个啥，其实就是个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34.......，总结下来就是从第三数开始就是前两个数的和。那么为什么要介绍它呢，因为它能衍生出很多实际中的问题，同时，在解决问题的同时，正好把时间复杂度和空间复杂度在复习一下。

介绍斐波那契数列的三种实现方法，输出第n数

方法一：递归

斐波那契数列的公式为：f[n] = f[n-1] + f[n-2], 初始值f[0]=0, f[1]=1，目标求f[n]。

    int Fibonacci(int n) {
        if (n==0 || n==1) return n;
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }

此方法为最垃圾的方法，没有之一。时间复杂度o(2^n)，空间o(1)；时间消耗性能太长。

方法二：记忆化搜索

    int Fib(int n, vector<int>& dp) {
        if (n==0 || n==1) return n;
        if (dp[n] != -1) return dp[n];
        return dp[n] = Fib(n-1) + Fib(n-2);
    }
    int Fibonacci(int n) {
        vector<int> dp(45, -1); // 因为答案都是>=0 的， 所以初始为-1，表示没计算过
        return Fib(n, dp);
    }

时间复杂度o(n)，空间o(n)；

方法三：动态规划

    int Fibonacci(int n) {
    if (n == 0 || n == 1) return n;
       int a = 0, b = 1, c;
       for (int i=2; i<=n; ++i) {
           c = a + b;
           a = b;
           b = c;
       }
       return c;
    }

嘿嘿，只需要三个变量，也只要循环一次；时间复杂度o(n)，空间o(1)；那面试的问你，斐波那契数列怎么实现，你菊花一紧，直接说出了第三种方案，人家面试官此时就有问号了，本想你来个些个复杂度较高的，然后再问你有没有优化方案的，来体现自己面试才能的时候，你直接把路堵死了，后面不得拿出更难的算法考你？

下面再问一道题目：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

不要懵，分析一下，假设f[i]表示在第i个台阶上可能的方法数。逆向思维。如果我从第n个台阶进行下台阶，下一步有2种可能，一种走到第n-1个台阶，一种是走到第n-2个台阶。所以f[n] = f[n-1] + f[n-2]，是否闻出一点熟悉的味道，那不就是斐波那契数列；

再来一道题目：

来点空间想象，走一步可以用一个矩形，或者两个矩形，这不就是那味吗，那不还是斐波那契；

最后来一道收尾：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

此时我相信你已经对斐波那契数已经熟悉了，还特码用思考，这不斐波那契直接解决了，那我得恭喜你答错了。你没发现，它后面多了句话吗，它也可以跳上n级，所以f[n] = f[n-1] + f[n-2]+f[n-3]+f[n-4]+.......+f[1]；想了想，这个好像是递归，但是怎么用算法表示呢，撸破头皮想了想，f[n-1] = f[n-2]+f[n-3]+f[n-4]+.......+f[1]，那么f[n] = 2 * f[n-1] =2 * 2 * f[n-2]=...........=2^(n-1) * f[1]；

于是最终有2^(n-1) 种跳法。

您学废了吗？

斐波那契数列的日常应用