题目描述
力扣64题，给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。每次只能向下或者向右移动一步。
示例 1：
输入： grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出： 7
解释： 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
深度优先搜索
这道题一上来我是用深度优先遍历做的，还做了剪枝，结果果断超时
void dfs(int row,int line,int rowMax,int lineMax,int sum,int[][] grid){
if(sum>min)
return;
if(row>rowMax-1||line>lineMax-1)
return;
if(row==rowMax-1&&line==lineMax-1){
sum += grid[row][line];
max = Math.min(max,sum);
sum -= grid[row][line];
return;
}
sum += grid[row][line];
dfs(row+1,line,rowMax,lineMax,sum,grid);
dfs(row,line+1,rowMax,lineMax,sum,grid);
sum -= grid[row][line];
}
这是dfs的关键代码，主函数代码我就不写了，就是每次向下或向右走一步，然后每次遍历先检查sum是否大于min，如果大于，没必要再遍历了，直接return即可，然后每次遍历到最后，对min进行更新。结果是无情超时。。。。
二维dp数组的动态规划
接着看了题解，发现可以用动态规划。这里可以用动态规划的关键就是求的是最小值，并且每次只能向下或向右移动，这样每到一个位置的最小和就只和它上边或左边的元素决定，因为只有从这两个元素的位置才能到达当前位置。由于这种性质，我们就可以利用动态规划了，假设结果数组是dp,每次遍历到一个位置i,j，此位置的最小和就是
dp[i][j] + Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
当然，i和j为0，也就是第一行和第一列的位置需要单独讨论，因为他们没有上边或者左边的元素。
class Solution {
public int minPathSum(int[][] grid) {
int m = grid.length, n = grid[0].length;
int[][] dp = new int[m][n];
dp[0][0] = grid[0][0];
for (int i = 1; i < m; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
}
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
}
那么代码就可以像上面这么写了，题目也说了m,n在1到200之间，也不用写边界条件了
一维dp数组的动态规划
但是这样感觉是不是用的空间有点多，咱们其实只需要一个最后的dp[m-1][n-1]，然后每个位置的值其实只和它的左边和上边的元素有关，并且二维的dp数组，剩下的那么多行，最后也只需要最后一行，之前那些行用完就没什么用了，那么基于这种思想，我们可以只用一个一维的dp数组
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
int[] res = new int[n]; //一维滚动数组的优化的动态规划
res[0] = grid[0][0];
for(int i=1;i<n;++i)
res[i] = res[i-1] + grid[0][i];
for(int i=1;i<m;++i){
res[0] += grid[i][0];
for(int j=1;j<n;++j){
res[j] = grid[i][j] + Math.min(res[j],res[j-1]);
}
}
return res[n-1];
关键代码是这里
res[j] = grid[i][j] + Math.min(res[j],res[j-1]);
每次一行一行进行更新，每次对位置更新时，式子右边的res[j]可以理解为此元素的上边元素的最小路径和（由于此时res[j]还没有更新），res[j-1]就是此元素左边元素的最小路径和，再用如上代码进行更新即可。
不用额外空间的动态规划
我们观察上面的代码可以发现，grid矩阵里的每个元素也只被调用了一次（第一行和第一列的元素会被调用两次），加上题目有没有说原矩阵不能被修改，所以我们可以直接在原矩阵上进行操作，先把第一行和第一列的元素进行修改，再进行其它元素的修改，代码如下：
int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
for(int i=1;i<n;++i)
grid[0][i] += grid[0][i-1];
for(int i=1;i<m;++i){
grid[i][0] += grid[i-1][0];
for(int j=1;j<n;++j){
grid[i][j] = grid[i][j] + Math.min(grid[i-1][j],grid[i][j-1]);
}
}
return grid[m-1][n-1];
直接在原矩阵上进行修改，修改思路同dp数组是二维的情况，可以这么做，主要是因为我们只需要最后的值，原矩阵面目全非也无所谓。以及grid矩阵里每个值其实用了一次之后就不会再用到了，所以改了也没事。
