【每日算法】最大数对和的最小值，贪心解的正确性证明｜Python 主题月

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1877. 数组中最大数对和的最小值 ，难度为 中等。

Tag : 「贪心」

一个数对 (a,b) 的 数对和 等于 a + b 。最大数对和 是一个数对数组中最大的 数对和 。

比方说，如果我们有数对 (1,5) ，(2,3) 和 (4,4)，最大数对和 为 max(1+5, 2+3, 4+4) = max(6, 5, 8) = 8 。 给你一个长度为 偶数 n 的数组 nums ，请你将 nums 中的元素分成 n / 2 个数对，使得：

• nums 中每个元素 恰好 在 一个 数对中，且
• 最大数对和 的值 最小 。

请你在最优数对划分的方案下，返回最小的 最大数对和 。

示例 1：

输入：nums = [3,5,2,3]

输出：7

解释：数组中的元素可以分为数对 (3,3) 和 (5,2) 。
最大数对和为 max(3+3, 5+2) = max(6, 7) = 7 。

示例 2：

输入：nums = [3,5,4,2,4,6]

输出：8

解释：数组中的元素可以分为数对 (3,5)，(4,4) 和 (6,2) 。
最大数对和为 max(3+5, 4+4, 6+2) = max(8, 8, 8) = 8 。

提示：

• n == nums.length
• 2 <= n <= $10^5$
• n 是 偶数 。
• 1 <= nums[i] <= $10^5$

基本分析 & 证明

直觉上，我们会认为「尽量让“较小数”和“较大数”组成数对，可以有效避免出现“较大数成对”的现象」。

我们来证明一下该猜想是否成立。

假定 $nums$ 本身有序，由于我们要将 $nums$ 拆分成 $n / 2$ 个数对，根据猜想，我们得到的数对序列为：

换句话说，构成答案的数对必然是较小数取自有序序列的左边，较大数取自有序序列的右边，且与数组中心对称。

假设最大数对是 $(nums[i], nums[j])$，其中 $i < j$，记两者之和为 $ans = nums[i] + nums[j]$。

反证法证明，不存在别的数对组合会比 $(nums[i], nums[j])$ 更优：

假设存在数对 $(nums[p], nums[q])$ 与 $(nums[i], nums[j])$ 进行调整使答案更优。

接下来分情况讨论：

• 调整为 $(nums[i], nums[p])$ 和 $(nums[q], nums[j])$：此时最大数对答案为 $nums[q] + nums[j]$，显然 $nums[q] + nums[j] >= nums[i] + nums[j] = ans$。我们要最小化最大数对和，因此该调整方案不会让答案更好；

• 调整为 $(nums[i], nums[q])$ 和 $(nums[p], nums[j])$：此时最大数对答案为 $\max(nums[i] + nums[q], nums[p] + nums[j]) = nums[p] + nums[j] >= nums[i] + nums[j] = ans$。我们要最小化最大数对和，因此该调整方案不会让答案更好；

上述分析可以归纳推理到每一个“非对称”的数对配对中。

至此我们得证，将原本对称的数对调整为不对称的数对，不会使得答案更优，即贪心解可取得最优解。

贪心

对原数组 $nums$ 进行排序，然后从一头一尾开始往中间组「数对」，取所有数对中的最大值即是答案。

Java 代码：

class Solution {
    public int minPairSum(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);
        int n = nums.length;
        int ans = nums[0] + nums[n - 1];
        for (int i = 0, j = n - 1; i < j; i++, j--) {
            ans = Math.max(ans, nums[i] + nums[j]);
        }
        return ans;
    }
}

Python 3 代码：

class Solution:
    def minPairSum(self, nums: List[int]) -> int:
        nums.sort()
        n = len(nums)
        ans = nums[0] + nums[n - 1]
        for i in range(1, n//2):
            ans = max(ans, nums[i] + nums[n - 1 - i])
        return ans

• 时间复杂度：$O(n\log{n})$
• 空间复杂度：$O(\log{n})$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1877 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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