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树,二叉树,哈夫曼树

树,二叉树,哈夫曼树

写在前面

之前讲的链表,栈,队列等都是线性存储结构,都是一对一的关系。而树是具有一对多关系的数据结构。比如我们经常说的湖北省武汉市,湖南长沙的一个类图,就类似于一颗倒转的树。

什么是树

树是一种数据结构,由n个节点构成的具有层次关系的有限集合。

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树的基本术语

节点:树中的每一个数据元素都是节点(A,B...)

节点的度:节点的子树个数(A的子树为B和C)

树的度:树中所有节点最大的度(树A和树C的度都是2)

叶子节点:度为0的节点(D,E,F)

节点的层次:树的根开始,树根所在的层为第一层,根的子节点所在的层为第二层(A第一层,BC第二层)

有序树和无序树:子树有左右顺序之分 (如左边的小于右边),反之则为无序树

树的特点

  1. 子树是不相交的
  2. 除了根节点之外,每个节点有且只有一个父节点
  3. 一个又N个节点构成的树只有N-1条边

什么是二叉树

树中的节点的度不超过2的有序树。

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二叉树的特点:

  1. 二叉树中,第i层的节点数最多为2i-1

  2. 深度为k的二叉树最多有2k-1个节点

  3. 对于任意二叉树,终端结点数(叶子结点数)为 n0,度为 2 的结点数为 n2,则 n0=n2+1,

    即度为0的节点n0,永远比度为2的节点 n2多一个。

    若排版问题可看图

满二叉树

二叉树中除了叶子节点,每个节点的度都为2,则此二叉树为满二叉树。

具有 n 个节点的满二叉树的深度为: log2(n+1)

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完全二叉树

一棵二叉树中,只有最下面两层结点的度可以小于2,并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。叶子结点只能出现在最下层和次下层,且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然,一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树,而完全二叉树未必是满二叉树。

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哈夫曼树(最优二叉树)

若给定一个二叉树如下:

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路径:在一棵树中,一个节点到另一个节点之间的通路,称为路径。如上图中的根节点到a之间的通路。

路径长度:在一条路径中,每经过一个节点,路径长度就加1。如上图根节点到节点c的路径长度为3。

节点的权:每个节点赋予一个新的数值。如a的权为7,b的权为5。

节点的带权路劲长度:从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权乘积。如b的带权路径长度为2*5=10。

树的带权路径长度:树中所有叶子结点的带权路径长度之和。通常记作 “WPL” 。如图中所示的这颗树的带权路径长度为:WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3

什么是哈夫曼树

构造一棵二叉树(每个节点都是叶子结点且都有各自的权值),该树的带权路径长度达到最小,称为最优二叉树,也称为哈夫曼树(Huffman Tree)

编码问题

场景:给定一段字符串,包含58个字符,且由以下7个字符构成:a,b,c,d,e,f,g,这7个字符出现的频次不同,如何对这7个字符进行编码如何对字符串进行编码,可以使得该字符串的编码存储空间最少?

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如果用标准的等长ASCII编码:58 × 8 = 464位

用二叉树进行编码

若用0和1表示左右分支,取出上面4个频次最高的字符,可以得到如下一棵树:

image-20210714143322940

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由上图可知,编码为0100可表示的字符就有3种可能的情况,因此,上面节点的分布具有二义性。如何避免二义性?只需要让每个节点都是叶子节点即可。

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哈夫曼树图示构造

通过上面的方式,我们把上面的字符按频次依次两两组合,且都为叶子节点。最后构造图示如下:

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因此,我们发现每个节点都是叶子节点,字符最后的编码为:

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所以,编码长度为:

10x3 + 15x2 + 12x2 + 3x5 + 4x4 + 13x2 + 1x5 = 146位

代码构造

public class HuffmanTree {

    //节点
    public static class Node<E> {
        //数据,如a,b,c,d。。。
        E data;
        //权重
        int weight;
        //左子节点
        Node leftChild;
        //you子节点
        Node rightChild;

        public Node(E data, int weight) {
            this.data = data;
            this.weight = weight;
        }
		
        public String toString() {
            return "Node[" + weight + ",data=" + data + "]";
        }
    }

    public static Node createHuffmanTree(List<Node> nodeList) {
        //当节点大于1时
        while (nodeList.size() > 1) {
            //先对list中根据权重排序
            sort(nodeList);
            //排序之后第一个节点就是权重最小的节点,第二个节点就是权重第二小的节点
            Node left = nodeList.get(0);
            Node right = nodeList.get(1);
            //生成一个新的父节点,类似于步骤1,但父节点没有数据只有权值
            Node<Node> parent = new Node<>(null, left.weight + right.weight);
            //子节点和父节点链接
            parent.leftChild = left;
            parent.rightChild = right;
            //删除最小的节点
            nodeList.remove(0);
            //删除第二小的
            nodeList.remove(0);
            //添加到list中
            nodeList.add(parent);
        }
        //最后返回根节点一棵树
        return nodeList.get(0);
    }

    /**
     * 冒牌排序
     *
     * @param nodeList
     */
    public static void sort(List<Node> nodeList) {
        if (nodeList.size() <= 1) {
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nodeList.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < nodeList.size() - 1; j++) {
                //前面的数大于后面的数就交换
                if (nodeList.get(j + 1).weight < nodeList.get(j).weight) {
                    Node temp = nodeList.get(j + 1);
                    nodeList.set(j + 1, nodeList.get(j));
                    nodeList.set(j, temp);
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 打印哈夫曼树,先左后右
     * 即从根节点开始先打印出子节点的左节点,在打印右节点
     * @param root 根节点的树
     */
    public static void printTree(Node root) {
        if (root.leftChild != null) {
            System.out.println("左子节点:" + root.leftChild);
            printTree(root.leftChild);
        }
        if (root.rightChild != null) {
            System.out.println("右子节点:" + root.rightChild);
            printTree(root.rightChild);
        }
    }


    //测试
    public static void main(String[] args) {
        List<Node> nodes = new ArrayList<Node>();
        //把节点加入至list中
        nodes.add(new Node("a", 10));
        nodes.add(new Node("b", 15));
        nodes.add(new Node("c", 12));
        nodes.add(new Node("d", 3));
        nodes.add(new Node("e", 4));
        nodes.add(new Node("f", 13));
        nodes.add(new Node("g", 1));
        Node root = createHuffmanTree(nodes);
        printTree(root);
    }
}
复制代码

测试结果

左子节点:Node[25,data=null]
左子节点:Node[12,data=c]
右子节点:Node[13,data=f]
右子节点:Node[33,data=null]
左子节点:Node[15,data=b]
右子节点:Node[18,data=null]
左子节点:Node[8,data=null]
左子节点:Node[4,data=e]
右子节点:Node[4,data=null]
左子节点:Node[1,data=g]
右子节点:Node[3,data=d]
右子节点:Node[10,data=a]
复制代码

总结

本章主要是对树有基础的概念,了解常见的树的特点,后面会继续讲到二叉排序树,二叉平衡树等,数据结构相对来说是比较枯燥的,但是坚持下去会有收获的,不管是对算法还是看源码都有很大提升。

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