如何使用动态规划求解最长公共子串

题目描述

  给定两个字符串str1 和 str2，输出两个字符串的最长公共子串，保证str1 和str2的最长公共子串存在并且唯一

示例

str1 = "1AB2345CD"

str2 = "12345EF"

substr = "2345"

使用动态规划解决

  注意上面描述的是求解最长公共子串，不是最长公共子序列，子序列可以是不连续的内容，但是子串一定是连续的内容。

  定义dp[i][j]表示字符串str1 中第i个元素和str2 中第j个元素为最后一个元素所构成的最长公共子串。那么如果要找出dp[i][j],也就是str1中第i个元素和str2中第j个元素是否相等，如果相等则进行记录如果不相等，那么就不记录。这样就表示dp[i][j]=0。如果相等，则需要计算前面的相等的字符，其实就是dp[i-1][j-1],所以dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;

如图所示，有了总结出来的地推公式，代码就比较简单，例如我们使用了两个变量，一个记录最长公共子串，一个即最长公共子串结束的位置。最后将字符串从中截取出来就可以了。

public String LCS(String str1,String str2){
    int maxLenth = 0; // 记录最长公共子串的长度
    // 记录最长公共子串最后一个元素再字符str1中的位置
    int maxLastIndex = 0;
    int[][] dp =  new int[str1.lenght()+1][str2.lenght()+1]
    for(int i = 0;i<str1.length();i++){
        for(int j = 0;j<str2.length();j++){
            if(str1.charAt(i)==str2.charAt(j)){
                dp[i+1][j+1] = dp[i][j]+1;
                //如果遇到了更长的子串，要更新，记录最长子串的长度
                //以及最长子串最后一个元素的位置
                if(dp[i+1][j+1]>maxLenth){
                    maxLenth = dp[i+1][j+1];
                    maxLastIndex = i;
                }
            }else{
                // 递推公示两个字符串不相等的情况
                dp[i+1][j+1] = 0;
            }
        }
    }
    return str1.substring(maxLastIndex-maxLenth+1,maxLastIndex+1)
    
}

时间复杂度 O(m*n)

空间复杂度 O(m*n)

  代码优化，将二维数组变成一维数组。

public String LCS(String str1,String str2){
    int maxLenth = 0; // 记录最长公共子串的长度
    // 记录最长公共子串最后一个元素再字符str1中的位置
    int maxLastIndex = 0;
    int[] dp = new int[str2.lenght()+1]
    for(int i = 0;i<str1.length();i++){
        for(int j = 0;j<str2.length()-1;j++){
            if(str1.charAt(i)==str2.charAt(j)){
                dp[j+1] = dp[j]+1;
                //如果遇到了更长的子串，要更新，记录最长子串的长度
                //以及最长子串最后一个元素的位置
                if(dp[j+1]>maxLenth){
                    maxLenth = [j+1];
                    maxLastIndex = i;
                }
            }else{
                // 递推公示两个字符串不相等的情况
                dp[j+1] = 0;
            }
        }
    }
    
   return str1.substring(maxLastIndex-maxLenth+1,maxLastIndex+1)
    
}

时间复杂度 O(m*n)

空间复杂度 O(n)

总结

  这里题目中要求返回的是最长公共子串，需要返回的是一个字符串，还有有些情况下，只需要返回最长公共子串的长度。不过既然能计算出长度，最长公共子串也就可以通过计算得到。希望这里动态规划的解题思路可以为大家提供一定的帮助。