Lecture 2: Induction(反证法 数学归纳法)

反证法

间接证明(indirect proof):

• 反证法:proof by contradiction.需要假定需要证明的命题为假，然后推出一个矛盾，从而证明不可能为假
• 等等

反证法的例子：证明$\sqrt2$ 是无理数(irrational number).

解:直接证明是很困难的，因为证无理数，是通过证不存在整数a和b,使得该数=a/b去证明的。如果要直接证，那只能穷举所有的a和b，显然不现实，我们采用反证法就非常简单：——假设根号2是有理数，假设找到了$\sqrt{2}=\cfrac{a}{b}$，所以$a^2=2b^2$。所以$a^2$是2的倍数,所以a是2的倍数，即a可以整除2，写作$2|a$.如果a是偶数，那么$a^2$是4的倍数,即$4|a^2$,即$4|2b^2$,即$2|b^2$,所以同样的,b也是个偶数,那么就得到了矛盾——$\cfrac{a}{b}$ 不是既约分数了。所以得证$\sqrt2$是无理数.

数学归纳法

归纳法公理(Induction axiom):令$P(n)$为谓词(predicate).如果$P(0)$为真,且对于所有自然数n,$P(n)->P(n+1)成立$,那么对于所有的自然数,$P(n)$成立.

谓词，首先是一个命题，其次，这个命题的正确性与某个变量有关

为什么归纳法公理成立?

因为如果P(0)为真,P(0)->P(1),那么P(1)为真;P(1)->P(2),所以P(2)为真...;以此类推...

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用归纳法证明:$对于所有n>0 , 1+2+3+...+n=\cfrac{n(n+1)}{2}$

1. Basecase(基本情形):如果n=1,sum(n)=1,成立
2. Inductive step(归纳步骤)：如果k时,$sum(k)=\cfrac{k(k+1)}{2}成立，那么k+1时，sum(k+1)=sum(k)+k+1=\cfrac{(k+1)(k+2)}{2}$,同样满足该式
3. 所以得证 (用上面的归纳法公理来说,其中,P(n)就是$1+2+3+...+n=\cfrac{n(n+1)}{2}$这个命题)

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用归纳法证明:$对于所有自然数n,(n^3-n)是3的倍数,即3|(n^3-n)$

过程略,简单

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用归纳法证明: $所有的马都有相同的颜色$ (当然，这个证明是错的，我们需要找到其错在哪里)

所有的马有相同颜色这个命题，我们需要想办法将其转化成这个谓词，即找到一个变量，使得这个命题的正确性和这个变量有关，并且这个变量趋于无穷的时候最终会得出我们问题的证明。

容易想到一个合适的谓词P(n):在任何n匹马中的集合中(n>=1),集合里所有的马的颜色都是相同的颜色

1. 证明BaseCase基本情况: 任何只有一匹马的集合，当然只有一种颜色

2. Inductive step(归纳步骤): 假设P(n)时候成立，需要证明P(n+1)成立.

证明P(n+1)成立，即证明任意选定n+1匹马,H(1),H(2),...,H(n+1)有着相同的颜色。 我们已知任意n匹马有相同颜色，所以H(1),H(2),...,H(n)有着相同的颜色，且H(2),H(3),...,H(n+1)有相同的颜色，所以证得，H(1),H(2),...,H(n+1)有着相同的颜色，即证得P(n+1)成立

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问题出在哪里？

我们在Inductive step的归纳步骤中，实际上是H(1~n)同颜色,H(2 ~ n+1)同颜色,推得H(1 ~ n+1)同颜色。这个成立的前提是，(1 ~ n)和(2 ~ n+1)存在交集，但是，当n=1的时候，是没有交集的，所以P(1)推P(2)的时候出错了，P(1)无法推出P(2)

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最后:用归纳法证明:$有一个边长为2^n$