前言

文章标题的灵感——伽利略的「关于托勒密和哥白尼两大世界体系的思考」。hh，强行拉关系。

最大公约数

greatest common divisor（gcd）

如何找到两个数的最大公倍数

令m是a、b的最大公约数，则有

$a = x*m$

$b = y*m$

其中x、y是整数。

令c = a - b，那么 $c = a - b = (x-y)*m$

其中x-y也是整数，综上我们有 $gcd(a,b) = gcd(b,c)$ 为了尽快结束递归的过程，我们可以加快这一进程，具体在下面的python实现的算法中。

python实现

# 最大公约数 greatest common divisor
def gcd(a,b):
    if a < b:
        a,b = b,a
    q,c = divmod(a,b)
    if c == 0:
        return b 
    else:
        return gcd(b, c) # c = a - b*q

之所以减去q倍的b，那是因为想要这个相减的过程尽可量的快速。

最小公倍数

least common multiple（lcm） 求最小公倍数，就是求最大公约数。因为给两个数a、b，存在如下等式关系

a * b = gcd(a,b) * lcm(a,b)

举个例子，求 60 与 110 对两个数进行质因数分解

60 = 2*2*3*5 

110 = 2*5*11 

60 * 110 = (2*2*3*5 ) * (2*5*11 ) = (2*2*3*5*11) *(2*5) = lcm(110,60) * gcd(110,60)

资料来源

《美丽的数学》