算法的复杂性分析，时间和空间复杂度。为什么需要复杂度分析？有些人认为写的一套算法，通过监控和统计，就能很准确的知道运行

为什么需要复杂度分析？

有些人认为写的一套算法，通过监控和统计，就能很准确的知道运行时间和占用的内存大小。这种统计法是对的，但是它有一个很大的局限。

结果依赖于机器

找配置高的机器，和配置低的机器，执行结果是不一样的。

测试数据的规模影响测试结果

数据的规模很大概率影响着算法的执行时间和结果。

规律总结

所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比。

总结成为一个公式

T(n)表示代码的总执行时间。
n表示数据的规模。
f(n) 表示每行代码执行的次数总和
公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

时间复杂度的由来

时间复杂度例子1：T(n) = O(2n+2), 例子2：T(n) = O(2n2+2n+3), 大O复杂度表示的不是代码真正的执行时间，而是随着数据规模的增加，时间增长的趋势。所以也称渐进时间复杂度。简言之，就是时间复杂度。

当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段例子的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O(n^2)。

如何进行时间复杂度的分析？

1.只关注执行次数最多的一段代码。

大O复杂度表示的是一种随着数据规模，时间的变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

第二行、第三行代码是常量级的执行时间，与n的大小无关，对复杂度没有影响。执行最多的是这个循环，执行了n次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

2.加法法则，总的复杂度等于量级最大那段代码的复杂度。

要点：常量级的执行时间，跟复杂度无关。即使某个循环执行了一千次、一万次，只要是一个已知的数，那它就是常量级的执行时间。虽然n这个数字很大，对执行时间有很大的影响。但是回到时间复杂度这个概念来说，它表示算法执行效率随数据规模增长变化的趋势。所以不管执行时间多长，我们都可以忽略掉，因为它本身对增长趋势没有影响。

3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

其实，这个好理解，我们理解为嵌套循环就好。例如一个循环内，调用了另外一个循环，那这个代码的复杂度，就是复杂度的乘积。如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

几种常见的时间复杂度

空间复杂度的由来

举一反三，时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

我们定义了一个常量int i =0;以及一个长度为n的数组，所以整段代码的空间复杂度为O(n)。

空间复杂度比时间复杂度简单很多，我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。