ch01-什么是证明这部分学过了而且比较简单，我就直接看中文翻译了. https://finit-xu.gitbook.

这部分学过了而且比较简单，我就直接看中文翻译了. finit-xu.gitbook.io/msc20180606…

1.1 命题(proposition)

定义：命题是一个要么为真要么为假的陈述（表达）。

比如2+3=5,1+1=3就是命题

1.2 谓词(predicate)

一个谓词可以理解为是一个真假依赖于一个或者多个变量值的命题。因此 “n是一个完全平方数”描述的是谓词，因为直到你知道变量n可能的值是什么，你才能判断它的真假。一旦你知道，例如n等于4，该谓词就是真命题“4是一个完美平方数”。记住，没有说命题一定得为真：如果n的值是5，你就得到假命题“5是一个完美平方数”。

像其它的命题一样，谓词通常以单个字母命名。此外，一个功能类似的符号被用来表达一个有明确变量值的谓词。例如，我们可能会用“P”给上面的谓词命名：P(n) ::= “n是一个完美平方数”;通过断言P(4)是真，P(5)是假，重复上面的言论

这个谓词符号与普通函数符号有着令人困惑的相似性。如果 P 是一个谓词，那么 P(n)是真或者假，取决于n的值。另一方面，如果 P 是一个普通函数，像 $n^2+1$ ，那么 P(n)是一个数字的量。不要将两者搞混！

总结:谓词首先是一个命题，更具体的讲，是一个正确性需要由未知量进行判断的一个命题。

1.3 公理化方法(Axiomatic method)

建立数学真理的标准步骤是由欧几里得发明的，一个在公元前300年左右，工作于埃及亚历山大的数学家。他的想法起源于五个关于几何的假设，这些假设基于直接经验似乎是无法否认的。（例如，”每两点之间存在一条值线段“。）像这些被简单地认为是真的命题被称为公理。

从这些公理出发，欧几里得通过提供”证明“确立了许多其它命题的真实性。证明是一系列基于公理和先前在讨论中的命题中已被证明的条件的逻辑推演。你可能在高中的几何课上写过许多证明，并且你会在本文中看到更多。

对于一个已经被证明过的命题而言，有一些共同的术语。不同的术语暗示了命题在更大的工作范围内的作用。

重要的真命题称为定理。

引理 是一个初步命题，对于证明后面的命题很有用。
推论 是一个只遵循定理的几个逻辑步骤的命题。这些定义不是精确的。事实上，有时候一个好的引理结果远远比一个最初用来证明的定理更加重要。

欧几里得的公理与证明方法，现在被称作公理化方法，至今仍然是数学的基础。事实上，只要一个被称作ZFC公理系统的少量公理，结合一些逻辑推演规则，就基本上足够衍生出所有的数学。我们将在第八章讨论这些。

1.4 我们的公理

ZFC公理对于研究和证明数学基础是重要的，但是出于实用的目的，它们太原始了。用ZFC公理系统证明定理有点像使用字节码编程而不是用成熟的编程语言——按某一计算方式，使用ZFC，一个常规的证明2 + 2 =4，需要超过20000个步骤！因此不从ZFC开始，我们将使用大量公理集（?这里想说的是定理集?）作为我们的基础：我们将接受高中数学中所有熟悉的事实。

这么做会让我们很快起步，但是一会发现这些不精确的公理规范令人困惑。例如，在一个证明过程中，你可能会开始疑惑，“我必须证明这个小事实，还是可以把它当作一个公理？“确实没有绝对的答案，因为合理的假设和需要证明的内容取决于环境和观众。一个好的一般性的指导原则就是提前了解你的假设。

1.4.1 逻辑推理

逻辑推理，或者_推理规则_ 是用来使用先前已经被证明的命题去证明新的命题。

一个基础的推理规则是_假言推理。_该规则说，P 的证明与 P蕴含Q 的证明一起即Q的证明。

推理规则有时候被写成古怪的符号。比如，假言推理被写成：

规则

$\cfrac{P, P ; implies; Q}{Q}$

当横线上面被称作_前件_ 的条件被证明的时候，那么我们可以认为横线下面被称作_结论_ 或者_后件_ 的条件也被证明了。

一个推理规则的关键要求是它必须是合理的：分配真值给字母P，Q，...，使得所有_前件_ 为真后，也必然使得所有结果为真。所以，如果我们从真公理开始，应用合理的推理规则，我们证明的一切都将是真的。

还有许多其它自然的、合理的推理规则，例如：

规则

**** $\cfrac{P ;implies; Q,Q ;implies ;R}{P ;implies; R }$

规则

$\cfrac{NOT(P) ;implies; NOT(Q)}{Q ;implies; P }$

无规则

$\cfrac{NOT(P) ;implies; NOT(Q)}{P ;implies; Q }$

是不合理的：如果P被赋值为TRUE且Q被赋值为FALSE，那么_前件_是真而_后件_为假。

与公理一样，我们不会对合法的推理规则集过于正式。证明的每一步应该是清晰且“合理的”；特别地，你应该说明先前证明的事实是用来得出每个新结论的。

1.4.2 证明的模式

原则上，一个证明可以是任何逻辑推理序列，该序列来自公理及先前在讨论中被证明过的、从命题中总结出来的陈述。一开始，建立证明的自由性似乎是巨大的。那你怎么开始一个证明呢？

好消息是：许多证明遵循少量模板中的一个。当然，每个证明拥有自己的细节，但是这些模板至少可以提供一个大纲来填充。我们将仔细讲解几个这样的模板，以指出基本的思想和常见的陷阱并且给出一些例子。这些模板中的许多可以组合在一起；某一个模板提供一个顶层大纲而其它的模板帮你进入下一层级的细节。之后我们将向您展示其他更复杂的证明技巧。

下面的诀窍有时是非常具体的，确切地告诉你在你的纸上写下哪个单词。你当然可以自由地用自己的方式表达；我们只是给你一些你能够表达的事情，这样你就永远不会完败。

1.5 证明一个蕴含式

“如果 P，那么 Q”的命题形式被称作蕴含式。该蕴含式通常被表述成“P 蕴含 Q”。

这里有一些例子：

（二次方程）如果 $ax^2+bx+c=0$ 且a≠0，那么 $x=\cfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 。

（哥德巴赫猜想 1.1.6 重新表述）如果n是一个大于2的偶数，那么n是两个素数的和。如果0 ≤ x ≤ 2，那么 $-x^3+4x+1$ >0。有两种标准的方法去证明一个蕴含式。

1.5.1 方法一(直接证如果P,那么Q成立)

为了证明_P_蕴含_Q_：

写下，“假设_P_”。表明_Q_在逻辑上遵循。举例

**定理 1.5.1。**如果0 ≤ x ≤ 2，那么 $-x^3+4x+1>0$ 。

在我们写该定理的证明之前，我们必须打一些草稿去弄清楚为什么它是真的。

该不等式显然适用于x=0；那么左边的等式等于1，1大于0。随着x的增大，4x（正的）项一开始似乎比 $-x^3$ （负的）有更大的数量级。例如，当x=1时，我们得到4x=4，但是 $-x^3$ 仅仅为-1。事实上，直到x>2， $-x^3$ 才看起来开始占优势。所以似乎对于所有处于0和2之间的x， $-x^3+4x$ 项的值应该是非负数，这就表明 $-x^3+4x+1$ 是正的。

迄今为止，进展顺利。但是我们还得用可靠的、有逻辑的论证来替代所有那些“似乎好像”的短语。我们可以通过因式分解更好地处理关键部分 $-x^3+4x$ ，这并不难： $-x^3+4x=x(2-x)(2+x)$

啊哈！因为x在0和2之间，等式的右边所有项都是非负数。那么非负数项的乘积也是非负数。让我们把一堆观察结果组织成一个清晰的证明。

_证明。_假设0 ≤ x ≤ 2。那么x，2-x和2+x都是非负的。因此，这些项的乘积也是非负的。给这个乘积加一得到一个正数，所以： $x(2-x)(2+x)+1>0$

左边相乘证明 $-x^3+4x+1>0$

这里有两点适用于所有证明：

当你试图弄明白一个证明的逻辑步骤，通常你需要做一些草稿。你的草稿可能是和你喜欢的一样杂乱无章——充满死胡同、奇怪的图表、不完整的单词，不管怎样。但是让你的草稿区分于你最后的证明，这一点应该是清晰和明确的。证明一般以单词“证明”开始并以一些类似□或者“**QED.”**的分隔符结尾。这些惯例的唯一目的是明晰证明的开始和结束。

1.5.2 方法二(证明逆否命题)

一个蕴含式（“P 蕴含 Q”）逻辑上与它的_逆否命题_等价：非Q蕴含非P。

证明一个和证明另一个同样好。有时候证明逆否命题比证明原始陈述更简单。如果这样，那么你可以按照如下步骤继续：

写下，“我们证明逆否命题：”，然后陈述逆否命题。继续往下如方法一。例子

1.6 证明”当且仅当“

许多数学定理这样断言两个陈述在逻辑上相等，即一个陈述成立当且仅当另一个陈述成立。有一个几千年来被熟知的例子：当且仅当两个三角形的两边及两边的夹角相等，这两个三角形的边长相等。

短语”当且仅当“经常出现，通常被简写为”iff“。

1.6.1 方法一：证明每个陈述蕴含另一个

1.6.2 方法二：构建一系列当且仅当

1.7 分情况证明

将一个复杂的证明拆分为多个情况，然后分别证明每种情况是一种共同的、有用的策略。

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