快速幂

暴力破解

我们很容易想到 $a^b$ 可以采用 b 个 a 相乘来求结果。

但此种方法需要大量计算，时间复杂度为 $O(n)$ 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int a, b;
    long long ans = 1;
    cin >> a >> b;
    for (int i = 0; i < b; ++i) {
        ans *= a;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

快速幂算法

当我们计算 $a^b$ 次方的时候可以利用 $a^b = ({a*a})^{b/2}$ 。

这样每次我们只需要把指数 a 减少一半，底数 b 变为原来的平方即可大大减少循环的次数。

当指数为偶数时，每次把指数 b 缩小为原来的一半，底数 a 变为原来的平方。

当指数为奇数时，我们可以指数 b 减一，结果乘以底数 a 。再按照偶数的规则进行运算即可。

这样快速幂算法的时间复杂度为：$log_2b$ 。

普通代码

我们每次循环，根据指数 b 为奇数还是偶数分别进行计算。

当输入的指数 b 为偶数时，每次循环指数 b 变为原来的一半，偶数除以 2 仍为偶数。 这样指数 b 在最后一次循环时会变为 1 ，此时即可算出结果。

当输入的指数 b 为奇数时，每次循环指数 b 减一。 这样指数 b 变成了偶数，随后即可按照偶数规则进行计算。

1. 当前指数 b 为奇数，把指数 b-- ，结果 ans *= a。
2. 当前指数 b 为偶数，把指数 b /= 2，底数 a *= a。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int a, b;
    long long ans = 1;
    cin >> a >> b;
    while (b) {
        if (b % 2 == 1) {
            b--; ans *= a;
        } else {
            b /= 2; a *= a;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

优化代码

上述代码可以进行优化

1. 我们可以使用b & 1来判断该数字的奇偶性，此代码可以获指数 b 二进制的最后一位，根据二进数的表示规则，当b & 1 = 1时，该数为奇数，当b & 1 = 0时，该数为偶数。
2. 利用b >> 1代替b / 2
3. 当指数 b 为奇数时，当减一后可以直接按照偶数规则进行运算。因此，每次循环我们可以直接右移一位即可，可以减少一次循环次数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int a, b;
    long long ans = 1;
    cin >> a >> b;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            b--; ans *= a;
        }
        b >>= 1; a *= a;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

相关题目

题目 Pow(x, n)

链接：leetcode 50. Pow(x, n)

此题需注意 n 的取值范围为：$-2^{31} <= n <= 2^{31}-1$，因此需要注意 n 为负数的情况。

当 n 为负数时，$2^{-2} = ({2^2})^{-1} = 1/{2^2}$，因此当我们计算负数时，可以先把指数 b 转为正数，再用 1 除以结果，即可得到最终结果。

注意：当n = INT_MIN时，-n 会越界，因此我们先把 n 转为long long类型，再转为负数。

class Solution {
public:
    double myPow(double x, int n) {
        long long power = n >= 0 ? n : -(long long) n;
        double ans = 1.0;

        while (power != 0) {
            if (power & 1) {
                ans = ans * x;
            }
            power >>= 1; // equal to power /= 2;
            x = x * x;
        }
        return n >= 0 ? ans : 1.0 / ans;
    }
};

题目 a^b

链接：AcWing 89. a^b

此道题目只需要返回 $mod\ p$ 后的结果。如果得到结果后再 $mod\ p$ ，如果数据过大则会导致越界。

因此可以利用 (a * b * c) % p = ((a % p) * (b % p) * (c % p)) % p 来计算。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int a, b, p, ans = 1;
    cin >> a >> b >> p;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            --b; ans = (long long) ans * a % p;
        }
        b >>= 1; a = (long long) a * a % p;
    }
    cout << ans % p<< endl;
    return 0;
}

题目 64位整数乘法

链接：AcWing 90. 64位整数乘法 我们可以利用快速幂的思路来求解大整数的乘法。

1. 当 b 为奇数的时候，我们可以减一，结果加上 a 。
2. 当 b 为偶数的时候，我们把 a 扩大2倍，b 变为原来的一倍。

注意：当 a 为奇数的时候，我们可以不减一，而是利用C++除法的向下取整来代替减一。例如：$5 / 2 = 2$ ，相当于先减去一，再进行除以 2 ，因此此步只需除以 2 即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
unsigned long long a, b, p, ans;
int main() {
    cin >> a >> b >> p;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = (ans + a) % p;
        a = a * 2 % p;
        b >>= 1;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}