最⻓公共⼦序列（Longest Common Subsequence，简称 LCS）是⼀道⾮常经典的⾯试题⽬，因为它的解法是典型的⼆维动态规划，⼤部分⽐较困难的字符串问题都和这个问题⼀个套路，⽐如说编辑距离。⽽且，这个算法稍加改造就可以⽤于解决其他问题，所以说 LCS 算法是值得掌握的。
题⽬就是让我们求两个字符串的 LCS ⻓度：
输⼊: str1 = "abcde", str2 = "ace"
输出: 3
解释: 最⻓公共⼦序列是 "ace"，它的⻓度是 3
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肯定有读者会问，为啥这个问题就是动态规划来解决呢？因为⼦序列类型的问题，穷举出所有可能的结果都不容易，⽽动态规划算法做的就是穷举 +剪枝，它俩天⽣⼀对⼉。所以可以说只要涉及⼦序列问题，⼗有⼋九都需要动态规划来解决，往这⽅⾯考虑就对了。
下⾯就来⼿把⼿分析⼀下，这道题⽬如何⽤动态规划技巧解决。
⼀、动态规划思路
第⼀步，⼀定要明确 dp 数组的含义
对于两个字符串的动态规划问题，套路是通⽤的。 ⽐如说对于字符串 s1 和 s2 ，⼀般来说都要构造⼀个这样的 DP table：
为了⽅便理解此表，我们暂时认为索引是从 1 开始的，待会的代码中只要稍 作调整即可。其中， dpi 的含义是：对于 s1[1..i] 和 s2[1..j] ， 它们的 LCS ⻓度是 dpi 。
⽐如上图的例⼦，d2 的含义就是：对于 "ac" 和 "babc" ，它们的LCS ⻓度是 2。我们最终想得到的答案应该是 dp3 。
第⼆步，定义 base case
我们专门让索引为 0 的⾏和列表⽰空串， dp0 和 dp.. 都应该初始化为 0，这就是 base case。
⽐如说，按照刚才 dp 数组的定义， dp0=0 的含义是：对于字符串"" 和 "bab" ，其 LCS 的⻓度为 0。因为有⼀个字符串是空串，它们的最⻓公共⼦序列的⻓度显然应该是 0。
第三步，找状态转移⽅程
这是动态规划最难的⼀步，不过好在这种字符串问题的套路都差不多，权且借这道题来聊聊处理这类问题的思路。
状态转移说简单些就是做选择，⽐如说这个问题，是求 s1 和 s2 的最⻓公共⼦序列，不妨称这个⼦序列为 lcs 。那么对于 s1 和 s2 中的每个字符，有什么选择？很简单，两种选择，要么在 lcs 中，要么不在。
这个「在」和「不在」就是选择，关键是，应该如何选择呢？这个需要动点脑筋：如果某个字符应该在 lcs 中，那么这个字符肯定同时存在于 s1 和s2 中，因为 lcs 是最⻓公共⼦序列嘛。所以本题的思路是这样：
⽤两个指针 i 和 j 从后往前遍历 s1 和 s2 ，如果 s1[i]==s2[j] ，那么这个字符⼀定在 lcs 中；否则的话， s1[i] 和 s2[j] 这两个字符⾄少有⼀个不在 lcs 中，需要丢弃⼀个。先看⼀下递归解法，⽐较容易理解：
def longestCommonSubsequence(str1, str2) -> int:
def dp(i, j):
# 空串的 base case if i == -1 or j == -1: return 0 if str1[i] == str2[j]:
# 这边找到⼀个 lcs 的元素，继续往前找 return dp(i - 1, j - 1) + 1 else:
# 谁能让 lcs 最⻓，就听谁的 return max(dp(i-1, j), dp(i, j-1))
# i 和 j 初始化为最后⼀个索引 return dp(len(str1)-1, len(str2)-1)
对于第⼀种情况，找到⼀个 lcs 中的字符，同时将 i j 向前移动⼀位，并给 lcs 的⻓度加⼀；对于后者，则尝试两种情况，取更⼤的结果。
其实这段代码就是暴⼒解法，我们可以通过备忘录或者 DP table 来优化时间复杂度，⽐如通过前⽂描述的 DP table 来解决：
⼆、疑难解答
对于 s1[i] 和 s2[j] 不相等的情况，⾄少有⼀个字符不在 lcs 中，会不会两个字符都不在呢？⽐如下⾯这种情况：
所以代码是不是应该考虑这种情况，改成这样：
if str1[i - 1] == str2[j - 1]:
# ... else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1])
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