算法入门篇二 认识O(NlogN)的排序

草莓味的棉花糖
110 阅读4分钟

递归

例子引出

  • 使用递归的方法求出数组中的最大值（利用的是栈）

  • 求中点的方法改进

    mid = (left + right) / 2 //但是如果left和right的数很大，相加会造成内容溢出 改进为 mid = left + (right - left) / 2 //(right - left)得到整个的长度，除以2之后，再加上左边的点，就可以得到中点的位置 改进为 mid = left + (right - left) >> 1 //使用位运算，加快计算速度

代码

package com.example.demo.class01;

public class Code08_GetMax {
    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = {1,2,4,3,2,8,6};
        int c = 0;
        c = getMax(arr);
        System.out.println(c);
    }
    public static int getMax(int[] arr){
        if(arr == null || arr.length == 0){
            System.out.println("输入数组不合理");
        }
        return process(arr,0,arr.length - 1);
    }
    public static int process(int[] arr,int L,int R){
        if(L == R){
            return arr[L];
        } //arr[L..R]只有一个数的时候，直接返回，base case
        int mid = L + ((R - L)>>1);
        int leftMax = process(arr,L,mid);
        int rightMax = process(arr,mid+1,R);
        return Math.max(leftMax,rightMax);
    }
}
//8

master公示的使用

  • 用于分析递归，用于解决 子问题规模 是一致的问题

    T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)

    1,log(b,a) > d -> 复杂度为O(N^log(b,a)) 2,log(b,a) = d -> 复杂度为O(N^d * logN) 3,log(b,a) < d -> 复杂度为O(N^d)

归并排序

  • 整体就是一个简单排序，左边排好顺序，右边排好顺序，使整体有序

  • 时间复杂度是O(N*logN)

  • 额外复杂度是O(N)

  • 代码

    package com.example.demo.class01;

    import java.util.Arrays;

    public class MergeSort {

    public static void mergeSort(int[] arr) {
    if (arr == null || arr.length < 2) {
        return;
    }
    process(arr, 0, arr.length - 1);
}

public static void process(int[] arr, int L, int R) {
    if (L == R) {
        return;
    }
    int mid = L + ((R - L) >> 1);
    process(arr, L, mid);
    process(arr, mid + 1, R);
    merge(arr, L, mid, R);
}

public static void merge(int[] arr, int L, int M, int R) {
    int[] help = new int[R - L + 1];
    int i = 0;
    int p1 = L;
    int p2 = M + 1;
    while (p1 <= M && p2 <= R) {
        help[i++] = arr[p1] <= arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
    }
    while (p1 <= M) {
        help[i++] = arr[p1++];
    }
    while (p2 <= R) {
        help[i++] = arr[p2++];
    }
    for (i = 0; i < help.length; i++) {
        arr[L + i] = help[i];
    }
}

// for test
public static void comparator(int[] arr) {
    Arrays.sort(arr);
}

// for test
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
    int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
    }
    return arr;
}

// for test
public static int[] copyArray(int[] arr) {
    if (arr == null) {
        return null;
    }
    int[] res = new int[arr.length];
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        res[i] = arr[i];
    }
    return res;
}

// for test
public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
    if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
        return false;
    }
    if (arr1 == null && arr2 == null) {
        return true;
    }
    if (arr1.length != arr2.length) {
        return false;
    }
    for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
        if (arr1[i] != arr2[i]) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// for test
public static void printArray(int[] arr) {
    if (arr == null) {
        return;
    }
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        System.out.print(arr[i] + " ");
    }
    System.out.println();
}

// for test
public static void main(String[] args) {
    int testTime = 500000;
    int maxSize = 100;
    int maxValue = 100;
    boolean succeed = true;
    for (int i = 0; i < testTime; i++) {
        int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
        int[] arr2 = copyArray(arr1);
        mergeSort(arr1);
        comparator(arr2);
        if (!isEqual(arr1, arr2)) {
            succeed = false;
            printArray(arr1);
            printArray(arr2);
            break;
        }
    }
    System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");

    int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
    printArray(arr);
    mergeSort(arr);
    printArray(arr);

}

    }

小和问题

  • 定义：在一个数组中，每一个数比前数小的数进行累加，叫做这个数的小和。

  • 转化为 （右边大于我的个数 * 我本身大小） 累加和，这个数值和小和得到的数据一致

  • res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;p1指向左边的数，p2指向右边的数，r是右边部分最右边的边界。r-p2 +1 得到比当前左边元素大的个数 ，再乘以当前元素本身；将所有元素按照上述流程进行，最后就得到了小和

  • 例子：【1，3，4，2，5】，1左边比1小的数：无；3左边比3小的数：1；4左边比4小的数：1，3；2左边比2小的数：1；5左边比5小的数：1，3，4，2；累加求和：16

使用归并排序解决小和问题

  • 归并排序，遇到相同的元素，先移动左侧，是为了保证程序的稳定性；而这里先移动右侧的元素，是为了确定比左侧指针指向的元素大的右侧区块中的元素的个数
  • 小和问题出现在三个地方：左侧区块内排序；右侧区块内排序；左右侧区块合并

代码

package class02;

public class Code02_SmallSum {

	public static int smallSum(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length < 2) {
			return 0;
		}
		return process(arr, 0, arr.length - 1);
	}

	// arr[L..R]既要排好序，也要求小和
	public static int process(int[] arr, int l, int r) {
		if (l == r) {
			return 0;
		}
		int mid = l + ((r - l) >> 1);
		return process(arr, l, mid) + process(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r);
	}

	public static int merge(int[] arr, int L, int m, int r) {
		int[] help = new int[r - L + 1];
		int i = 0;
		int p1 = L;
		int p2 = m + 1;
		int res = 0;
		while (p1 <= m && p2 <= r) {
			res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;
			help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
		}
		while (p1 <= m) {
			help[i++] = arr[p1++];
		}
		while (p2 <= r) {
			help[i++] = arr[p2++];
		}
		for (i = 0; i < help.length; i++) {
			arr[L + i] = help[i];
		}
		return res;
	}

	// for test
	public static int comparator(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length < 2) {
			return 0;
		}
		int res = 0;
		for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
			for (int j = 0; j < i; j++) {
				res += arr[j] < arr[i] ? arr[j] : 0;
			}
		}
		return res;
	}

	// for test
	public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
		int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
		}
		return arr;
	}

	// for test
	public static int[] copyArray(int[] arr) {
		if (arr == null) {
			return null;
		}
		int[] res = new int[arr.length];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			res[i] = arr[i];
		}
		return res;
	}

	// for test
	public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
		if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
			return false;
		}
		if (arr1 == null && arr2 == null) {
			return true;
		}
		if (arr1.length != arr2.length) {
			return false;
		}
		for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
			if (arr1[i] != arr2[i]) {
				return false;
			}
		}
		return true;
	}

	// for test
	public static void printArray(int[] arr) {
		if (arr == null) {
			return;
		}
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			System.out.print(arr[i] + " ");
		}
		System.out.println();
	}

	// for test
	public static void main(String[] args) {
		int testTime = 500000;
		int maxSize = 100;
		int maxValue = 100;
		boolean succeed = true;
		for (int i = 0; i < testTime; i++) {
			int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
			int[] arr2 = copyArray(arr1);
			if (smallSum(arr1) != comparator(arr2)) {
				succeed = false;
				printArray(arr1);
				printArray(arr2);
				break;
			}
		}
		System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
	}

}

  • 类似于逆序对问题：如果左边的数比右边的数大，则二者构成一个逆序对，原理类似
  •   res += arr[p1] > arr[p2] ? (m - p1 +1) : 0;

荷兰国旗问题

  • 快速排序
  • 给定数组arr和数num，将小于等于num的数放在数组的左边，大于num的数放在数组的右边，要求时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1);不要求内部有序

​

  • 将数组分为三个部分，以num为界限，分为小于等于区、大于区和待定区。指针指向数组的第一个元素，判定指针指向的元素是否小于等于num，如果成立当前数和小于等于区的下一个数交换，然后小于等于区向右移动，指针也向右移动

  • 如果指针指向的元素大于num，那么指针直接跳过该元素，向右移动。

    package class02;

    public class Code05_NetherlandsFlag {

    public static int[] partition(int[] arr, int l, int r, int p) {
	int less = l - 1;
	int more = r + 1;
	while (l < more) {
		if (arr[l] < p) {
			swap(arr, ++less, l++);
		} else if (arr[l] > p) {
			swap(arr, --more, l);
		} else {
			l++;
		}
	}
	return new int[] { less + 1, more - 1 };
}

// for test
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
	int tmp = arr[i];
	arr[i] = arr[j];
	arr[j] = tmp;
}

// for test
public static int[] generateArray() {
	int[] arr = new int[10];
	for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
		arr[i] = (int) (Math.random() * 3);
	}
	return arr;
}

// for test
public static void printArray(int[] arr) {
	if (arr == null) {
		return;
	}
	for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
		System.out.print(arr[i] + " ");
	}
	System.out.println();
}

public static void main(String[] args) {
	int[] test = generateArray();

	printArray(test);
	int[] res = partition(test, 0, test.length - 1, 1);
	printArray(test);
	System.out.println(res[0]);
	System.out.println(res[1]);

}

    }

第二个问题

  • 荷兰国旗问题：给定数组arr和数num，将小于等于num的数放在数组的左边，等于num的数放在数组的中间，大于num的数放在数组的右边，要求时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)

​

  • 将数组分为三个部分，小于区、中间区和大于区。

  • 首先用指针指向数组的第一个元素，如果当前指向的数小于num，则小于区下一个元素和当前数值侧面交换，小于区域向右边扩，指针向右边移动

  • 如果当前指针指向的元素和num相等，那么指针直接跳过，移动到下一个位置

  • 如果当前指针指向的元素大于num，那么大于区的前一个元素和当前指针指向的元素交换，大于区域向左边扩展，但是当前指针不可以移动位置，因为，交换了元素，不知道这个交换元素和num的大小

    package class02;

    import java.util.Arrays;

    public class Code06_QuickSort {

    public static void quickSort(int[] arr) {
	if (arr == null || arr.length < 2) {
		return;
	}
	quickSort(arr, 0, arr.length - 1);
}

public static void quickSort(int[] arr, int l, int r) {
	if (l < r) {
		swap(arr, l + (int) (Math.random() * (r - l + 1)), r);
		int[] p = partition(arr, l, r);
		quickSort(arr, l, p[0] - 1);
		quickSort(arr, p[1] + 1, r);
	}
}

public static int[] partition(int[] arr, int l, int r) {
	int less = l - 1;
	int more = r;
	while (l < more) {
		if (arr[l] < arr[r]) {
			swap(arr, ++less, l++);
		} else if (arr[l] > arr[r]) {
			swap(arr, --more, l);
		} else {
			l++;
		}
	}
	swap(arr, more, r);
	return new int[] { less + 1, more };
}

public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
	int tmp = arr[i];
	arr[i] = arr[j];
	arr[j] = tmp;
}

// for test
public static void comparator(int[] arr) {
	Arrays.sort(arr);
}

// for test
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
    //l到r随机选一个数做等概率划分 ，最差情况发生概率下降
	int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
	for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
		arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
	}
	return arr;
}

// for test
public static int[] copyArray(int[] arr) {
	if (arr == null) {
		return null;
	}
	int[] res = new int[arr.length];
	for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
		res[i] = arr[i];
	}
	return res;
}

// for test
public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
	if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
		return false;
	}
	if (arr1 == null && arr2 == null) {
		return true;
	}
	if (arr1.length != arr2.length) {
		return false;
	}
	for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
		if (arr1[i] != arr2[i]) {
			return false;
		}
	}
	return true;
}

// for test
public static void printArray(int[] arr) {
	if (arr == null) {
		return;
	}
	for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
		System.out.print(arr[i] + " ");
	}
	System.out.println();
}

// for test
public static void main(String[] args) {
	int testTime = 500000;
	int maxSize = 100;
	int maxValue = 100;
	boolean succeed = true;
	for (int i = 0; i < testTime; i++) {
		int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
		int[] arr2 = copyArray(arr1);
		quickSort(arr1);
		comparator(arr2);
		if (!isEqual(arr1, arr2)) {
			succeed = false;
			printArray(arr1);
			printArray(arr2);
			break;
		}
	}
	System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");

	int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
	printArray(arr);
	quickSort(arr);
	printArray(arr);

}

    }

  • 快排的时间复杂度是 o(N*logN)

​

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