leetcode中的关于位运算数学题

题目：实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。
思路：分治法，总共要实现n个x相乘。将转化二进制数。比如77 的二进制表示 1001101，对应着77=1+4+8+64.即2⁰,2²,2³,2⁶.于是有，x⁷⁷=x * x⁴ * x⁸ * x⁶⁴.时间复杂度logN。
代码：

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        m = -n if n < 0 else n
        y = 1
        while m:
            if m & 1:
                y *= x
            x *= x
            m >>= 1
        return y if n >= 0 else 1/y

题目：给你两个二进制字符串，返回它们的和（用二进制表示）。 输入为 非空 字符串且只包含数字 1 和 0。

解法与思路：1遍历字符串，从个位开始相加，考虑进位；
2内置函数直接return '{:b}'.format(int(a, 2) + int(b, 2))；
3利用位运算，不用加减乘除。利用异或和与，实现真正的二进制加法。

解法三代码：

//先不考虑进位，0位与1位相加等于1，1位与1位相加和0位与0位相加均为1，对应异或运算
//两个位均为1时需要进位，对应与预算
class Solution:
    def addBinary(self, a, b) -> str:
        x, y = int(a, 2), int(b, 2)
        while y:
            answer = x ^ y  # 第一步不考虑进位情况下两数相加的结果
            carry = (x & y) << 1  # 需要进位的地方，左移一位正好等于进位
            x, y = answer, carry  # 重复，第一步的结果加上进位的值
        return bin(x)[2:]       

格雷编码是一个二进制数字系统，在该系统中，两个连续的数值仅有一个位数的差异。 给定一个代表编码总位数的非负整数 n，打印其格雷编码序列。即使有多个不同答案，你也只需要返回其中一种。 示例 输入: 2 输出: [0,1,3,2] 解释:
00 - 0
01 - 1
11 - 3
10 - 2

对于给定的 n，其格雷编码序列并不唯一。 例如，[0,2,3,1] 也是一个有效的格雷编码序列。

//法一 循环，每一轮在各数的左边加位1
class Solution:
    def grayCode(self, n: int) -> List[int]:
        res=[0]
        for i in range(n):
            offset = 1 << i
            res+=[offset+x for x in res[::-1]]
        return res          

法二,递归,找到规律,每次改变x的一个位置

var grayCode = function(n) {
    var x = 0;
    var res=[];
    core(n, x);
    return res;
    
    function core(n){
        res.push(x);
        for(let i=1; i<=n; i++){
            x^=(1<<(i-1));
            core(i-1, x);
        }
    }
};
//法三数学公式生成
var grayCode = function(n) {
    var ans = new Array();
    for(let i=0;i<(1<<n);i++){
        ans.push(i^(i>>1));
        }
    return ans;     
};

题136：给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？
分析：要求不使用额外空间，则不能存储已出现过的数，还有线性复杂度限制。只能使用数学方法，异或操作，相同的位置会抵消为0，最后的数字便是只出现一次的那个。
代码：

class Solution:
    def singleNumber(self, nums: List[int]) -> int:
        res = 0
        for i in nums:
            res ^= i
        return res

题137：其他数字出现3次，找到出现一次的数

分析：与上题类似，需要设计一个方法，让出现3次的位变成0。需要2个数来记录，过程见代码

代码：

class Solution:  
    def singleNumber(self, nums: List[int]) -> int:
        ones = twos = 0;  # ones数字的每一位为1代表该位上出现1次，twos代表2次，
        for i in nums:  # 每一个位不可同在ones和twos中为1，要么出现1次要么2次
            ones = (ones ^ i) & ~twos;    
            twos = (twos ^ i) & ~ones; 
        return ones 

public int singleNumber(int[] nums) {  
        int one = 0, two = 0, three;
        for (int num : nums) {
            // two的相应的位等于1，表示该位出现2次
            two |= (one & num);
            // one的相应的位等于1，表示该位出现1次
            one ^= num;
            // three的相应的位等于1，表示该位出现3次
            three = (one & two);
            // 如果相应的位出现3次，则该位重置为0
            two &= ~three;
            one &= ~three;
        }
        return one;
    }

题260：有2个数出现一次，其他数出现2次

分析：也要求线性复杂度，同理使用异或运算，会等到要求的2数a 和b的异或结果num。对于num中的位1，要么来自与a，要么来自与b中。使用num&(-num)找到最后num中最后一个位1，例如num=0b00110100，负数补码表示，为正数的反码加1，有-num = 0b11001100，num&(-num) = 0b100. 于是再次遍历数组，将数中左起第三位为1的数相异或，便能等到a或b，另一个数则通过异或num得知。

代码：

class Solution:  
    def singleNumber(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        num=0
        for x in nums:
            num^=x
        dif = num&(-num) //找到最左边的位1
        res=0
        for y in nums:
            if dif&y:
                res^=y
        return [res,num^res]