Leetcode62 & 63不同路径

这是一道典型的动态规划问题，状态转移方程也比较直接，以下列出三种优化方式，优化空间复杂度

1.状态转移方程

令dp[i][j] 是到达 i, j 最多路径

这道题我们从终点[m-1][n-1]这个target倒推，动态方程：dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j+1]

对于最后一行 dp[m-1][j]，和最右侧一列 dp[i][n-1]，由于都是在边界，所以只能为 1

时间复杂度：O(m*n)

空间复杂度：O(m * n)

优化：因为我们每次只需要 dp[i+1][j],dp[i][j+1]就好

class Solution {
    //方法一：空间复杂度 O(m*n)
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m<=1 || n<=1) return 1; //首先，如果是只有一行或列，那肯定是1
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i=0;i<m;i++) dp[i][n-1] = 1;
        for(int j=0;j<n;j++) dp[m-1][j] = 1;
        for(int i=m-2;i>=0;i--){ //终点倒退
            for(int j=n-2;j>=0;j--){
                dp[i][j] = dp[i+1][j]+dp[i][j+1];
            }
        }
        return dp[0][0];
    }

    // //方法二：空间复杂度（2n）
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m<=1 || n<=1) return 1;
        int[] pre = new int[n];
        int[] cur = new int[n];
        Arrays.fill(pre,1);
        Arrays.fill(cur,1);
        for(int i=m-2;i>=0;i--){
            for(int j=n-2;j>=0;j--){
                cur[j] = cur[j+1]+pre[j];
            }
            pre = cur.clone();
        }
        return cur[0];
    }

    //方法三：空间复杂度(n)
    public int uniquePaths(int m, int n){
        if(n<=1 || m<=1) return 1;
        int[] cur = new int[n];
        Arrays.fill(cur,1);
        for(int i=m-2;i>=0;i--){
            for(int j=n-2;j>=0;j--){
                cur[j]+=cur[j+1];
            }
        }
        return cur[0];
    }
}

另一道leetcode63也是类似，只不过加了个障碍物，由于反向推到需要先判断是否是单列/行，这在障碍物变题中会比较麻烦，这次我们用正向推导状态转移方程，思路几乎一模一样。

1、状态定义： dp[i][j] 表示走到格子 (i, j) 的方法数。

2、状态转移： 如果网格 (i, j) 上有障碍物，则 dp[i][j]值为 0，表示走到该格子的方法数为0； 否则网格 (i, j) 可以从网格 (i - 1, j）或者 网格 (i, j - 1) 走过来，因此走到该格子的方法数为这两种方法数之和，即 dp[i, j] = dp[i - 1, j] + dp[i, j - 1]

状态转移方程如下：

3、初始条件
第 1 列的格子只有从其上边格子走过去这一种走法，因此初始化 dp[i][0] 值为 1，存在障碍物时为 0；
第 1 行的格子只有从其左边格子走过去这一种走法，因此初始化 dp[0][j] 值为 1，存在障碍物时为 0。

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length, n=obstacleGrid[0].length;
        if(obstacleGrid[0][0]==1 || obstacleGrid[m-1][n-1]==1) return 0;
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i=0;i<m;i++){
            if(obstacleGrid[i][0]==1) break;
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(obstacleGrid[0][j]==1) break;
            dp[0][j] = 1;
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                if(obstacleGrid[i][j]==1) continue;
                dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}