时间序列与R语言应用(part5)--移动平均MA模型及其可逆性

学习笔记

参考书目：《计量经济学》、《计量经济学模型与R语言应用》

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移动平均MA模型及其可逆性

一阶移动平均过程

在研究$q$阶移动平均过程之前，我们先以一阶移动平均过程开刀，即$MA(1)$序列, 一阶移动平均模型表达式为：

其中$e_t$和$e_{t-1}$都是白噪声，显然，$E(Y_t)=0, Var(Y_t)=\sigma_e^2(1+\theta^2)$，此时有：

和：

对于$k\geq2, Cov(Y_t,Y_{t-k})=0$，即过程大于1阶滞后时，不存在自相关。

通过上面的信息，我们可以得到该$MA(1)$过程的1阶自相关函数为：

显然，若存在：

其中$\eta=1/\theta$，则有1阶自相关函数：

通过这个结果，我们看到$\theta$被$1/\theta$代替时，自相关函数完全相同。

$q$阶移动平均过程

对于q阶移动平均过程:

其中,$e_t, e_{t-1}, e_{t-2}, ..., e_{t-q}$，都是白噪声，于是有：

对于$k>q, Cov(Y_t,Y_{t-k})=0$，即过程大于q阶滞后时，不存在自相关。则根据平稳性条件，有限阶的移动平均模型总是平稳的。

可逆性

根据上一个Blog的证明，自回归AR过程也可以被认为是一个无穷阶移动平均过程.但是由于某些原因，自回归表达式更便利。那么，移动平均模型可以被重新表示为自回归模型吗？

考虑$MA(1)$模型：

先把方程改写成$e_t=Y_t+\theta e_{t-1}$，再递推可得：

若$|\theta|<1$，我们可以对过去值无限重复以上的替代过程，得到表达式：

或：

若$|\theta|<1$，我们可以看到$MA(1)$过程可以逆转换成一个无穷阶的自回归模型，当且仅当$|\theta|<1$，我们称$MA(1)$可逆。

对于一般的$MA(q)$模型，定义MA特征多项式为：

和相应的MA特征方程：

可以证明$MA(q)$模型可逆，当且仅当MA特征方程根的模大于1.

在$MA(1)$过程中，我们看到$\theta$被$1/\theta$代替时，会得到完全一样的自相关函数$\rho_1$。比如：$Y_t=e_t+2 e_{t-1}$和$Y_t=e_t+0.5 e_{t-1}$有相同的自相关函数,但是只有第2个以特征根为-2的MA过程是可逆的。