时间序列与R语言应用(part3)--趋势平稳与差分平稳一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变化趋势，而这些序列间本

学习笔记

参考书籍：《计量经济学》

趋势平稳与差分平稳

趋势平稳与差分平稳随机过程

虚假回归

一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变化趋势，而这些序列间本身不一定有直接的关联关系，这时对这些数据进行回归，尽管有较高的 $R^2$ ，但其结果是没有任何实际意义的，这种现象我们称之为虚假回归。

为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法是引入作为趋势变量的时间 $t$ ，这样包含有时间趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。然而这种做法，只有当趋势性变量是确定性的而不是随机性的，才会是有效的。换言之，一个包含有某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入趋势变量，而将确定性趋势分离出来。

随机性趋势与确定性趋势

考虑如下的含有1阶自回归的随机过程：

X_t=\alpha + \beta t + \rho X_{t-1} + \mu_t\tag{1}

其中 $\mu_t$ 为白噪声， $t$ 为一个时间趋势。

如果 $\rho=1, \beta =0$ ,则(1)式为一个带位移的随机游走过程。根据 $\alpha$ 的正负， $X_t$ 表现出明显的上升或下降趋势，这种趋势称为随机性趋势。

如果 $\rho=0, \beta \neq0$ ,则(1)式为一个带时间趋势的随机变化过程，根据 $\beta$ 的正负， $X_t$ 表现出明显的上升或下降趋势，这种趋势称为确定性趋势。

如果 $\rho=1, \beta \neq0$ ,则 $X_t$ 包含确定性与随机性两种趋势。

判断一个非平稳的时间序列，它的趋势是随机性的还是确定性的，可通过ADF检验中所用的第3个模型：

\Delta X_t= \alpha+ \beta t+ \delta X_{t-1}+\sum_{i=1}^m\beta_i \Delta X_{t-i}+\epsilon_t\tag{2}

如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量 $t$ 前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势。如果没有单位根，且时间变量 $t$ 前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。

差分平稳过程与趋势平稳过程

随机性趋势可通过差分的方法消除，比如一个带位移的随机游走过程，就可以通过差分的方法使其平稳：

X_t=\alpha + X_{t-1} + \mu_t \Rightarrow \Delta X_t=\alpha + \mu_t\tag{3}

该时间序列 $X_t$ 称为差分平稳过程。

然而确定性趋势无法通过差分的方法消除，只能通过除去趋势项消除，如比如一个带时间趋势的随机变化过程，可以通过去除时间变量 $t$ ，使其平稳：

X_t=\alpha + \beta t + \mu_t \Rightarrow X_t - \beta t=\alpha + \mu_t\tag{4}

该时间序列 $X_t$ 称为趋势平稳过程。趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行长期预测更为可靠。

R语言实现

下面将模拟2个时间序列，通过ADF检验，判断序列具有哪种趋势(随机性or确定性)

模拟序列(随机游走)：

#模拟随机游走
set.seed(1238)
n <- 1000
y <- vector(length = n)
y[1] = 0
for (i in 2:n){
  y[i] = y[i-1] + rnorm(1, 0, 1/n)
}

#利用ADF检验中的模型3，获取时间变量tt的显著性检验结果
x <- y
k <- 1
x <- as.vector(x, mode = "double")
x_1 <- diff(x)
n <- length(x_1)
z <- embed(x_1, k)
yt <- z[, 1]
xt1 <- x[k:n]
tt <- k:n
res <- lm(yt ~ xt1 + 1 + tt)
summary(res)$coefficients

#ADF检验结果
adf.test(y)$p.value

控制台输出结果：

> summary(res)$coefficients
                 Estimate   Std. Error    t value   Pr(>|t|)
(Intercept) -3.512132e-05 6.686299e-05 -0.5252729 0.59951037
xt1         -4.570506e-03 3.345454e-03 -1.3661843 0.17218951
tt           2.859225e-07 1.665257e-07  1.7169867 0.08629248

> adf.test(y)$p.value
[1] 0.8823519

由结果可知，时间变量tt的回归系数，在大于0.05的显著性水平，不能拒绝回归系数为0的假设，说明没有确定性趋势，而ADF单位根检验结果说明了，该序列存在单位根，则存在随机性趋势。

模拟序列:

n <- 100
x <- c(1:n)
z <- rnorm(n, 0, 1/n)
y <- 2*x + 3 + z

#利用ADF检验中的模型3，获取时间变量tt的显著性检验结果
x <- y
k <- 1
x <- as.vector(x, mode = "double")
x_1 <- diff(x)
n <- length(x_1)
z <- embed(x_1, k)
yt <- z[, 1]
xt1 <- x[k:n]
tt <- k:n
res <- lm(yt ~ xt1 + 1 + tt)
summary(res)$coefficients

#ADF检验结果
adf.test(y)$p.value

控制台输出结果：

> summary(res)$coefficients
              Estimate Std. Error   t value     Pr(>|t|)
(Intercept)  4.7066541  0.3032464 15.520891 6.454279e-28
xt1         -0.9024946  0.1010956 -8.927142 2.998167e-14
tt           1.8050169  0.2021935  8.927177 2.997647e-14

> adf.test(y)$p.value
[1] 0.01

由结果可知，时间变量tt的回归系数，在小于0.05的显著性水平，拒绝回归系数为0的假设，说明存在确定性趋势，而ADF单位根检验结果说明了，该序列不存在单位根，则没有随机性趋势。