这是我参与更文挑战的第30天，活动详情查看： 更文挑战
石子游戏（题号877）
题目
亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i] 。
游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。
亚历克斯和李轮流进行，亚历克斯先开始。 每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。
假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平，当亚历克斯赢得比赛时返回 true ，当李赢得比赛时返回 false 。
示例：
输入：[5,3,4,5]
输出：true
解释：
亚历克斯先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果李拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果李拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明，取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动，所以我们返回 true 。
提示：
2 <= piles.length <= 500piles.length是偶数。1 <= piles[i] <= 500sum(piles)是奇数。
链接
解释
这题啊，这题是令人发指。
此题涉及到博弈论，关于博弈论的解法放到后面再说，先看看常规解法。
常规解法就是经典DP了，可以搞一个二维数组，DP[i][j]用来表示，在i到j范围内可以得到的最大差值，也就是亚历克斯可以赢的最多点数。
这里涉及的问题就是如何选择到最大值，官方直接给了这样的解释👇：
当
i<j时，当前玩家可以选择取走piles[i]或piles[j]，然后轮到另一个玩家在剩下的石子堆中取走石子。在两种方案中，当前玩家会选择最优的方案，使得自己的石子数量最大化。因此可以得到如下状态转移方程：
这波笔者就很迷惑了，怎么突然就来个这个？
为啥要用plies[i]-dp[i+1][j]和piles[j]−dp[i][j−1]？笔者一直思考了有十几分钟才反应过来，真是愚钝啊。
比方说当前是数组是这样的：
[1, 2, 3, 4]
此时的i是1，j是2。那么dp[i][j]应该是1，因为3-2=1嘛，亚历克斯应该回选择最优解法，所以必然会选择3，李就只能选择2了，所以亚历克斯赢的点数就是1。
如果此时i变成了i-1，那么此时选择的范围就变成了👇：
[1, 2, 3]
此时是奇数，他有两种选择方式：
-
选1
选1的时候，由于到亚历克斯选择了，那么在
[2, 3]这个范围中肯定是李先做选择，如果是李先做选择，那么在[2, 3]这个区间内必然是李拥有最大值，所以此时的dp[i + 1][j]对于亚历克斯来说就是一个负值。所以，需要用1减去
dp[i + 1][j]来得到此时亚历克斯可能获得的最大值。 -
选3
选3的时候和上面一样，曾经的最大值会到李手里，所以需要用3减去
dp[i][j - 1]来获取亚历克斯的最大值。
就这两块逻辑是真的绕，真的看了很久，加上歇歇画画才理解了。
自己的答案
无
更好的方法（动态规划）
在动态规划这里，需要处理一些特殊情况。
-
i === j这种情况意味着数组只有一个元素，而且是亚历克斯先选，所以
dp[i][i] = piles[i] -
i > j这种情况不存在，因为
i是起始值，j是结束值，所以i必须大于j。
处理完这些特殊情况之后，就可以进行计算了👇：
var stoneGame = function(piles) {
var len = piles.length
dp = Array.from({length: len}, () => new Array(len).fill(0))
for (let i = 0; i < len; i++) {
dp[i][i] = piles[i]
}
for (let i = len - 2; i > -1; i--) {
for (let j = i + 1; j < len; j++) {
dp[i][j] = Math.max(piles[i] - dp[i + 1][j], piles[j] - dp[i][j - 1])
}
}
return dp[0][len - 1] > 0
};
默认先填0，之后给dp[i][i]进行赋值。
完事之后开始两层循环，注意，这里是从大到小进行循环的 ，因为有可能选择右边的石子堆。
最后返回从0到数组长度的值就好了，如果这个值大于0，证明亚历克斯赢了，否则是李赢。
更好的方法（动态规划 -> 降维）
降维操作也是有的，跟其他的DP差不多👇：
var stoneGame = function(piles) {
var len = piles.length
dp = [...piles]
for (let i = len - 2; i > -1; i--) {
dp[i] = Math.max(piles[i] - dp[i + 1], piles[i] - dp[i])
}
return dp[len - 1] > 0
};
这块没啥可说的，经典降维。
更好的方法（数学）
这是笔者能看懂的为数不多的数学解法。
这里首先将数组分为两堆，一堆是奇数，一堆是偶数。
下面开始进行选择：
-
亚历克斯选择了数组第一个元素
此时亚历克斯选择的数奇数堆中的第一个元素，而李能选择的只能是数组的第二个元素或者是最后一个元素，这两个元素都是偶数
index，所以李必然会在偶数堆中进行选择。之后又到亚历克斯进行选择。
如果亚历克斯选择了奇数堆中的元素，李只能选择偶数堆中的元素，以此类推。
-
亚历克斯选择了数组最后一个元素
那么此时李能选择了只有奇数堆中的元素，不管李选择哪个元素，亚历克斯依然可以从偶数堆或者是奇数堆中的进行任意选择。
到这里答案就出来了，关键就是亚历克斯可以决定李选择的堆。
既然如果，亚历克斯可以通过自己的选择来左右李的选择，如果亚历克斯一直都选择奇数堆，李只能选择奇数堆。
同理，如果亚历克斯一直选择偶数堆，那么李就只能选择奇数堆。
根据题意，亚历克斯和李必然会有一方获胜，不可能存在平手的情况，那就证明了偶数堆和奇数堆中必然有一个是更大的，不存在两个堆一样大。
那么如果在一开始亚历克斯就找到了更大的堆，并且一直选择这个堆——亚历克斯必胜。
所以，数学方法的解法非常简单👇：
var stoneGame = function(piles) {
return true
};
是的，你没有看错，直接返回true就行，亚历克斯必胜。
这题好像有点涉及到博弈论，具体笔者这里就不多赘述了，因为笔者也不太清楚...
PS：想查看往期文章和题目可以点击下面的链接：
这里是按照日期分类的👇
经过有些朋友的提醒，感觉也应该按照题型分类
这里是按照题型分类的👇
有兴趣的也可以看看我的个人主页👇
