【高等数学】二重积分证明不等式

设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，利用二重积分证明： $(\int_a^b f(x)g(x)dx)^2 \le \int_a^bf^2(x)dx \int_a^bg^2(x)dx.$

证明如下：

$\because f(x),g(x)$在区间上连续.

$\therefore \exist r \in R,\int_a^b [f(x)+rg(x)]dx$在区间上连续,且$\int_a^b [f(x)+rg(x)]^2dx \ge 0.$

将以上不等式展开，则

$\int_a^bf^2(x)dx+2\int_a^b rf(x)g(x)dx+r^2\int_a^bg^2(x)dx\ge 0.$

将这个不等式左侧看作关于$r$的函数，则

$H(x)=\int_a^bg^2(x)dx\cdot r^2+2\int_a^b f(x)g(x)dx\cdot r+\int_a^bf^2(x)dx.$

所以$H(x)$是在坐标系中开口向上的二次函数，要使$H(x)$在区间恒大于等于0，则

$\delta = b^2-4ac=[2\int_a^b f(x)g(x)dx]^2-4\int_a^bg^2(x)dx\cdot \int_a^bf^2(x)dx \le0.$

$\Rightarrow [\int_a^b f(x)g(x)dx]^2\le \int_a^bg^2(x)dx\cdot \int_a^bf^2(x)dx.$

证毕！