- 堆的定义
堆是一个近似完全二叉树的结构，堆中子节点的值总是小于（或者大于）它的父节点。
通常堆是通过一维数组来实现的。在数组起始位置为0的情形中：
父节点i的左子节点在位置(2i+1);
父节点i的右子节点在位置(2i+2);
子节点i的父节点在位置((i-1)/2);
以升序排序为例，建最大堆，重复从最大堆取出数值最大的结点(把根结点和最后一个结点交换，把交换后的最后一个结点移出堆（最大值在最后）)，并让残余的堆维持最大堆性质。
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堆排序的Java代码实现
public void sort() { int len = arr.length - 1; int beginNoLeaf = (arr.length >> 1)- 1; for (int i = beginNoLeaf; i >= 0; i--) maxHeapify(i, len);
for (int i = len; i > 0; i--) { swap(0, i); maxHeapify(0, i - 1); }}
private void maxHeapify(int index, int len) { int left = (index << 1) + 1; int right = left + 1;
int max = left;
if (left > len) return;
if (right <= len && arr[right] > arr[left]) max = right; if (arr[max] > arr[index]) { swap(max, index);
maxHeapify(max, len); } }private void swap(int i, int j) { int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; } （1） 往堆中插入元素
让新插入的节点与父节点对比大小，自下往上推，如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点，一直重复这个过程。
（2） 删除堆顶元素
把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。
- 堆的应用：优先级队列、求 Top K 和求中位数
（1） 优先级队列
Q：如何实现一个优先级队列呢？
A：一个堆就可以看作一个优先级队列。很多时候，它们只是概念上的区分而已。往优先级队列中插入一个元素，就相当于往堆中插入一个元素；从优先级队列中取出优先级最高的元素，就相当于取出堆顶元素。很多语言中，都提供了优先级队列的实现，比如，Java 的 PriorityQueue。
例子：合并有序小文件
Q：假设我们有 100 个小文件，每个文件的大小是 100MB，每个文件中存储的都是有序的字符串。我们希望将这些 100 个小文件合并成一个有序的大文件。这里就会用到优先级队列。
A：这里就可以用到优先级队列，也可以说是堆。我们将从小文件中取出来的字符串放入到小顶堆中，那堆顶的元素，也就是优先级队列队首的元素，就是最小的字符串。我们将这个字符串放入到大文件中，并将其从堆中删除。然后再从小文件中取出下一个字符串，放入到堆中。循环这个过程，就可以将 100 个小文件中的数据依次放入到大文件中。
（2） 利用堆求 Top K
求 Top K 的问题可以抽象成两类。一类是针对静态数据集合，也就是说数据集合事先确定，不会再变。另一类是针对动态数据集合，也就是说数据集合事先并不确定，有数据动态地加入到集合中。
维护一个大小为 K 的小顶堆，顺序遍历数组，从数组中取出数据与堆顶元素比较。如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中；如果比堆顶元素小，则不做处理，继续遍历数组。这样等数组中的数据都遍历完之后，堆中的数据就是前 K 大数据了。
遍历数组需要 O(n) 的时间复杂度，一次堆化操作需要 O(logK) 的时间复杂度，所以最坏情况下，n 个元素都入堆一次，时间复杂度就是 O(nlogK)。
（3） 求中位数
维护两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆，且小顶堆中的数据都大于大顶堆。大顶堆元素个数大于等于小顶堆。
插入数据进行堆化：往小顶堆中插入数据，如果小顶堆元素个数等于大顶堆，则只需对小顶堆进行堆化；如果小顶堆元素个数大于大顶堆，则对小顶堆进行堆化后，移动堆顶元素进入大顶堆堆化。
插入数据因为需要涉及堆化，所以时间复杂度变成了 O(logn)，但是求中位数我们只需要返回大顶堆的堆顶元素就可以了，所以时间复杂度就是 O(1)。
