Hamming网络实现水果分类

Hamming网络采用Hamming距离度量两向量的距离。因此Hamming网络是专门为求解二值（问题中输入向量的每个元素只能是两个可能值中的一个，本文取-1和+1两个值）模式识别问题而设计的。它同时采用了前馈网络和递归网络，并且两层的神经元个数相同。Hamming网络的目标：是判定哪个原型向量最接近于输入向量，判定的结果由递归层的输出表示。每个标准模式均对应递归层中的一个神经元，当递归层收敛后，递归层中只有一个神经元的输出值为非0值，该神经元指明了哪一个标准模式与输入向量最接近。本文结合水果分类问题详细说明Hamming网络的工作原理。

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1. 问题

某商贩有一个存储各种水果和蔬菜的货仓。当将水果放进货仓时，不同类型的水果可能会混淆在一起，所以商贩非常希望能够有一台能够帮他将水果自动分类摆放的机器。假设从水果卸车的地方到货仓之间有一条传关带。传送带要通过一组特定的传感器，这组传感吕可以分别测量水果的三个特征：外形、质地和重量。如下图所示： 这些传感 器功能比较简单。如果水果基本是圆形的，外形传感器的输出就为1；如果水果更接近椭圆，那么外形传感器的输出就为-1.如果水果表面光滑，质地传感器的输出就为1；如果水果表面比较粗糙，那么质传感器的输出就为-1.当水果重量超过1磅时，重量传感器的输出为1；水果重量轻于1磅时，重量传感器的输出为-1.

本文介绍的Hamming网络就能够很好解决这个问题。最终的效果是：三个传感器的输出输入到Hamming神经网络。然后网络输出水果的类型，接着把不同类型的水果分别送到相应的储存仓内。

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2. 前馈层

前馈层用于实现每个标准模式和输入模式之间的相关检测或求内积。为了使得前馈层能够完成其功能，可以用标准模式设置其权值矩阵的行，该权值矩阵用连接矩阵$W^1$表示。对于苹果/橘子实例而言，有

前馈层采用的是线性传输函数，偏置值向量中的每个元素均等于$R$。其中，$R$是输入向量中的元素个数。据此，可以将该实例中偏置值向量设置为

用权值矩阵和偏置值向量的这些选择，前馈层的输出为

注意：前馈层的输出等于输入和每个标准模式的内积加$R$。对于这两个等长（范数）向量而言，内积在两个向量指向同方向时最大，指向相反时值最小。把内积加上$R$是为保证前馈层的输出不会都是负数值，这是递归层正常操作所必需要的。

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3. 递归层

Hamming网络的递归层就是所谓的“竞争”层。该层的神经元用前馈层的输出进行初始化，此输出指出原型模式和输入向量之间的关系。然后递归层中的神经元相互竞争以决定谁是胜利者。竞争后只有一个神经元的输出值不等于0.竞争取胜的神经元就表示提供给网络的输入的类别（比如在我们的实例中，就是苹果和橘子两种类别）。描述竞争的等式为 $\mathbf{a}^2(0)=\mathbf{a}^1$ 和 $\mathbf{a}^2(t+1)=poslin(\mathbf{W}^2 \mathbf{a}^2(t))$ 其中，$poslin$传输函数对于正值而言是线性函数，对于负值而言取值为0.权值矩阵$\mathbf{W}^2$的形式为 （两种类别时）

（三种类别时）

因此，可知$\mathbf{W}^2$的对角元素全为1,其他元素全为$-\epsilon$。 此处，$\epsilon$为小于$1/(S-1)$的一个数，$S$为递归层的神经元的个数。

递归层的每次迭代过程可以用下式表示：

从上式可以看出，向量每个元素都减云另一个元素的一部分，而减少的比例相同，均为$\epsilon$。由此可知，具有较大值的元素减云的量较少，而具有较小值的元素减去的量较大，这将导致元素值的大小差别进一步扩大，最终使得除了初始值最大的元素的值继续保持较大的值以外，其他元素的值将逐步变为0。而输出值大于0的元素所对应的神经元便对应于以Hamming距离和输入模式最靠近的标准模式。

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4. 一个例子

此部分讲解利用Hamming网络解决开头的水果分类问题。为了使问题更加简单，现假设传送带上只有两种类型的水果：苹果和橘子。我们可以用一个三维的向量$\mathbf{p}$来表示一个水果： $\mathbf{p}=\left[\begin{matrix}外形\\质地\\重量\end{matrix}\right]$

所以，一个标准的橘子可表示为： $\mathbf{p}_1=\left[\begin{matrix}1\\-1\\-1\end{matrix}\right]$ 一个标准的苹果可表示为： $\mathbf{p}_2=\left[\begin{matrix}1\\1\\-1\end{matrix}\right]$

对于传送带上的水果，Hamming网络可接收到一个三维输向量，并且必须判断它是一个橘子（$\mathbf{p}_1$）还是一个苹果（$\mathbf{p}_2$）。

此时，假定一个椭圆形的橘子$\mathbf{p}_2=\left[\begin{matrix}-1\\1\\-1\end{matrix}\right]$被送上传送带，我们通过它来看Hamming网络是如何工作的。

1. 初始化前馈层的权值 $\mathbf{W}^1=\left[\begin{matrix}1 & -1 & -1\\1 & 1 & -1\end{matrix}\right]$ $\mathbf{b}^1=\left[\begin{matrix}3 \\3 \end{matrix}\right]$
2. 初始化递归层的权值 $\mathbf{W}^2=\left[\begin{matrix}1 & -0.5 \\-0.5 & 1 \end{matrix}\right]$
3. 计算前馈层的输出值 $a_1=\left[\begin{matrix}1 & -1 & -1\\1 & 1 & -1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}-1\\1\\-1\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}3 \\3 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}4 \\2 \end{matrix}\right]$
4. 迭代计算递归层的输出，直到收敛 $a_2（0）=\left[\begin{matrix}1 & -0.5 \\-0.5 & 1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}4 \\2 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3 \\0 \end{matrix}\right]$

$a_2（1）=\left[\begin{matrix}1 & -0.5 \\-0.5 & 1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}3 \\0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3 \\0 \end{matrix}\right]$ 由于$a_2(1)==a_2(0)$，故递归层收敛。第一维不为零，故此水果被判定为橘子。

下面给出程序：

import numpy as np
import copy
class HammingNet:
    def __init__(self, W1, outputs):
        self.outputs = outputs
        self.W1 = W1
        self.b1 = len(self.W1[0])*np.ones((len(self.W1), 1))
        self.W2 = np.eye(len(self.W1))
        self.W2[self.W2==0] = -(1.0/(len(self.W1)))
        self.max_iters = 100
    def fit(self, x):
        a1 = self.purelin(x)
        a2 = copy.deepcopy(a1)
        for i in range(self.max_iters):
            new_a2 = self.poslin(a1)
            if new_a2.tolist() == a2.tolist():
                a2 = copy.deepcopy(new_a2)
                break
            a2 = copy.deepcopy(new_a2)
        a2 = a2.reshape(-1)
        a2[a2>0] = 1
        output_type = self.outputs[a2.tolist().index(1)] 
        print("This is an "+output_type)
    
    
    def purelin(self, x):
        return np.dot(self.W1, x)+self.b1
    
    def poslin(self, x):
        a2 = np.dot(self.W2, x)
        a2[a2<0] = 0
        return a2
        
outputs = ["orange", "apple"]
W1 = np.array([[1, -1, -1] # the prototype of orange
               ,[1, 1, -1] # the prototype of apple
              ])
hammingnet = HammingNet(W1, outputs)
x = np.array([-1, -1, -1] # a ellipsoidal orange
            ).reshape(-1, 1)
hammingnet.fit(x)

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6. 总结

本篇介绍了Hamming网络的目标、工作原理、方法，最后还给出一个例子与程序用以说明Hamming网络的工作过程。Hamming网络由前馈层与递归层组成的两层神经网络，两层的权值都是需要预先设计，也就是说，Hamming网络的结构与参数是人为设定好的。与其他神经网络（参数与结构至少有一个是可以通过学习得到）相比，Hamming网络是一种非常初级的神经网络。尽管如此，Hamming网络中的主要工作原理：在内积操作层（前馈层）之后紧跟一个动态竞争层（递归层），被后来很多人工神经网络借鉴，这些网络被称为自组织网络。但与Hamming网络的静态性不一样，这些网络可以根据提供的输入向量对原型向量进行学习与调整。

Hamming网络的动态竞争层具有两个特点：1）横向抑制;2）胜者全得。 横向抑制：每个神经元的输出都将对所有其他的神经元产生一种抑制作用； 胜者全得：只有一个神经元有非零输出，这就被叫作胜者全得竞争。

7. 参考文献

[1] Hagan M , Hagan, 戴葵. 神经网络设计[M]. 机械工业出版社, 2002.