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二分查找
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
- 示例 1:
- 输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
- 输出: 4
- 解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
二分法的使用前提是：数组为有序数组，且强调数组中无重复元素。二分法的逻辑比较简单，写好二分法的关键是对区间定义清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。区间定义一般有两种：
- 左闭右闭 [left, right]
- 左闭右开 [left, right)
左闭右闭
左闭右闭定义了target在[left, right]区间，所以有如下两点：
while (left <= right)要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=if (nums[middle] > target)right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1。
class Solution {
public int search(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length -1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
}
左闭右开
左闭右闭定义了target在[left, right)区间，需要与左闭右闭区别开的是，右区间right是无意义的，所以有如下两点：
while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的if (nums[middle] > target)right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle。这里区别于左闭右闭，如果right=middle-1,因为right是无意义的，将会无法比较到middle-1位置的元素。
class Solution {
public int search(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
while (left < right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle; // target 在左区间，所以[left, middle - 1)
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right)
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
}
搜索插入位置
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
你可以假设数组中无重复元素。
- 示例 1:
- 输入: [1,3,5,6], 5
- 输出: 2
暴力解法
遍历整个数组，时间复杂度为o(N)
二分法
有序数组且无重复元素，可以考虑二分法。还是分左闭右闭 和 左闭右开两种。这里提供左闭右闭的解法。
int n = nums.length;
int left = 0;
int right = n - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效
int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle;
}
}
// 分别处理如下四种情况
// 目标值在数组所有元素之前 [0, -1]
// 目标值等于数组中某一个元素 return middle;
// 目标值插入数组中的位置 [left, right]，return right + 1
// 目标值在数组所有元素之后的情况 [left, right]， return right + 1
return right + 1;
