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动态规划

动态规划（Dynamic Programming，DP）是求解决策过程最优化的过程，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题，在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域被广泛使用。

它的基本思想非常简单，若要求解一个给定问题，我们需要求解其不同部分（即子问题），再根据子问题的解得出原问题的解。

通常许多子问题非常相似，为了减少计算量，动态规划法试图每个子问题仅解决一次，一旦算出某个给定子问题的解，则将其记忆化存储，以便下次求解同一个子问题解时可以直接查表。因此具有天然剪枝的功能。

DP 题目的特点

首先我们一起来看一下，什么样的题目可能需要使用动态规划。一般而言（并不绝对），如果题目如出现以下特点，你就可以考虑（有一定概率）使用动态规划。

特点一：计数

题目问：有多少种方法？有多少种走法？

关键字：多少！

特点二：最大值/最小值

题目问：某种选择的最大值是什么？完成任务的最小时间是什么？数组的最长子序列是什么？达到目标最少操作多少次等。

关键字：最！

特点三：可能性

题目问：是否有可能出现某种情况？是否有可能在游戏中胜出？是否可以取出 k 个数满足条件？

关键字：是否！

通常而言，看到这三类题目，就可以尝试往 DP 解法上靠。

DP 的 6 步破题法

找到题目的特点，确定可以使用 DP 之后，接下来就可以准备逐步破题了。

下面我们以一道题目为例，详细介绍破解 DP 问题的思考过程与解题步骤。其实这道题不难，我相信你们都见过，不过我还是希望你能跟着我的思维重新再思考一遍。

【题目】给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount，需要你编写一个函数计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，则返回 -1。你可以认为每种硬币的数量是无限的。

输入：coins = [1, 2, 5]，amount = 11

输出：3

解释：11 元可以拆分为 5 + 5 + 1，这是最少的硬币数目。

【分析】首先我们看到关键字“最少”，因此可以尝试往 DP 上面想。在 DP 问题上，很多人都存在一个思维误区，这里我们称为误区 1：

利用 DP 求解问题时，一开始就去想第一步具体做什么！

你之所以没有思路，往往是因为采用了一种顺应题意的方法去求解问题。比如题目问：

如何求“最少步数”，你就去想“从头开始怎么走”；如何选择可以“达到最大收益”，你就真的开始去想“怎么选择”。

这恰恰是 DP 题目给你下的一个“套”，这样思考很容易带你陷入暴力求解的方法，找不到优化的思路。因此，千万不要从第一步开始思考。就这道题而言，就是不要去想，我的第一个硬币怎么选！

那么我们应该从哪里着手呢？答案是：最后一步！

1. 最后一步

以这道题为例，最后一步指的是：兑换硬币的时候，假设每一步操作总是选择一个硬币，那么我们看一下最后一步如何达到 amount？

以给定的输入为例：

coins = [1, 2, 5], amount = 11

最后一步可以通过以下 3 个选项得到：

已经用硬币兑换好了 10 元，再添加 1 个 1 元的硬币，凑成 11 元；

已经用硬币兑换好了 9 元，再添加 1 个 2 元的硬币，凑成 11 元；

已经用硬币兑换好了 6 元，再添加 1 个 5 元的硬币，凑成 11 元。

接下来，应该立即将以上 3 个选项中的未知项展开成子问题！

注意：如果你找的最后一步，待处理的问题规模仍然没有减小，那么说明你只找到了原始问题的等价问题，并没有找到真正的最后一步。

2. 子问题

拿到 3 个选项之后，你可能会想：[10元，9元，6元] 是如何得到？到此时，一定不要尝试递归地去求解 10 元、9 元、6 元，正确的做法是将它们表达为 3 个子问题：

如何利用最少的硬币组成 10 元？

如何利用最少的硬币组成 9 元？

如何利用最少的硬币组成 6 元？

我们原来的问题是，如何用最少的硬币组成 11 元。

不难发现，如果用 f(x) 表示如何利用最少的硬币组成 x 元，就可以用 f(x) 将原问题与 3 个子问题统一起来，得到如下内容：

原问题表达为 f(11)；

3 个子问题分别表达为 f(10)、f(9)、f(6)。

接下来我们再利用 f(x) 表示最后一步的 3 个选项：

f(10) + 1 个 1 元得到 f(11)；

f(9) + 1 个 2 元得到 f(11)；

f(6) + 1 个 5 元得到 f(11)。

3. 递推关系

递推关系，一般需要通过两次替换得到。

最后一步，可以通过 3 个选项得到。哪一个选项才是最少的步骤呢？这个时候，我们可以采用一个 min 函数来从这 3 个选项中得到最小值。

f(11) = min(f(11-1), f(11-2), f(11-5)) + 1

接下来，第一次替换：只需要将 11 换成一个更普通的值，就可以得到更加通用的递推关系：

f(x) = min(f(x-1), f(x-2), f(x-5)) + 1

当然，这里 [1, 2, 5] 我们依然使用的是输入示例，进行第二次替换：

f(x) = min(f(x-y), y in coins) + 1

写成伪代码就是：

f(x) = inf
for y in coins:
    f(x) = min(f(x), f(x-y) + 1)

4. f(x) 的表达

接下来我们要做的就是在写代码的时候，如何表达 f(x)？

这里有一个小窍门。

直接把 f(x) 当成一个哈希函数。那么 f 就是一个 HashMap。

对于大部分 DP 题目而言，如果用 HashMap 替换 f 函数都是可以工作的。如果遇到 f(x, y) 类似的函数，就需要用 Map<Integer x, Map<Integer y, Integer>> 这种嵌套的方式来表达 f(x, y)。

当然，有时候，用数组作为哈希函数是一种更加简单高效的做法。具体来说：

如果要表达的是一维的信息，就用一维数组 dp[] 表示 f(x)；

如果要表达的是二维的信息，就用二维数组 dp[][] 表示 f(x, y)

这就是为什么很多 DP 代码里面可以看到很多dp数组的原因。但是，现在你要知道：

用 dp[] 数组并不是求解 DP 问题的核心。

因为，数组只是信息表达的一种方式。而题目总是千万变化的，有时候可能还需要使用其他数据结构来表达 f(x)、f(x, y) 这些信息。比如：

f(x)、f(x, y) 里面的 x, y 都不是整数怎么办？是字符串怎么办？是结构体怎么办？

当然，就这个题而言，可以发现有两个特点：

1）f(x) 中的 x 是一个整数；

2）f(x) 要表达的信息是一维信息。

那么，针对这道题而言言，我们可以使用一维数组，如下所示：

int[] dp = new int[amount + 1];

数组下标 i 表示 x，而数组元素的值 dp[i] 就表示 f(x)。

那么递推关系可以表示如下：

dp[x] = inf;
for y in coins:
  dp[x] = min(dp[x], dp[x-y] + 1);

5. 初始条件与边界

那么，如何得到初始条件与边界呢？这里我分享一个小技巧：你从问题的起始输入开始调用这个递归函数，如果递归函数出现“不正确/无法计算/越界”的情况，那么这就是你需要处理的初始条件和边界。

比如，如果我们去调用以下两个递归函数。

coinChange(0)：可以发现给定 0 元的时候，dp[amount-x] 会导致数组越界，因此需要特别处理dp[0]。

coinChange(-1) 或者 coinChange(-2) 的调用也是会遇到数组越界，说明这些情况都需要做特别处理。

那么什么情况作为初始条件？什么情况作为边界？答案就是：

如果结果本身的存放不越界，只是计算过程中出现越界，那么应该作为初始条件。比如 dp[0]、dp[1]；

如果结果本身的存放是越界的，那么需要作为边界来处理，比如 dp[-1]。

当然，就这道题而言，初始条件是 dp[0] = 0，因为当只有 0 元钱需要兑换的时候，应该是只需 0 个硬币。

6. 计算顺序

说来有趣，计算顺序最简单，我们只需要在初始条件的基础上使用正向推导多走两步可以了。比如：

初始条件：dp[0] = 0

那么接下来的示例中的输入：coins[] = [1, 2, 5]。我们已经知道 dp[0] = 0，再加上可以做的 3 个选项，那么可以得到：

dp[1] = dp[0] + 1 元硬币 = 1

dp[2] = dp[0] + 2 元硬币 = 1

dp[5] = dp[0] + 5 元硬币 = 1

到这里，递推关系好像还没有用到。那什么时候用呢？我们来看下面两种情况：

如下图所示，第一种情况，dp[5] 可以直接通过 dp[0] 得到，值为 1。

如下图所示，第二种，dp[5] 可以通过 dp[3] 得到，值为 3。

此时可以发现，判断具体取哪个值时，就需要用到前面的递推关系了。